tengo una pregunta acerca de adjoints en la categoría de Teoría. Deje $\textbf{Posets}$ la categoría de parque natural Posets (así se Fija con relación binaria $\leq$ que es reflexiv, transitiv y antisimétrica) y deje $\textbf{PreOrd}$ la categoría de preoderer conjuntos (así se fija con una relación binaria $\leq$ que es reflexiv y transitiv).
Por lo tanto, podemos hacer una evidente olvidadizo functor $G:\textbf{Posets}\rightarrow\textbf{PreOrd}$ que "se olvide" de la antisymmetry de la poset. El ejercicio es ahora la siguiente:
Muestran que el functor G tiene un adjunto a la izquierda.
Mi idea era la siguiente. Tenemos que hacer esto en algunos pasos. Primero tenemos que hacer un functor $F:$ PreOrd $\rightarrow$ Posets. Es correcto definir $F(X,\leq)=(X,\leq)$ mediante la adición de la propiedad de antisymmetry, o no puede esto hacerse?
En el siguiente paso tenemos que demostrar la correspondencia entre bijective $F(X)\rightarrow Y$ $X\rightarrow G(Y)$ , lo que da $f:F(X)\rightarrow Y$ construcción$\bar{f}:X\rightarrow G(Y)$, y también para un determinado $g:X\rightarrow G(Y)$ una flecha $\bar{g}:F(X)\rightarrow Y$ tal que $\bar{\bar{f}}=f$$\bar{\bar{g}}=g$.
Pero, ¿cómo hacer una buena construcción? Alguien me puede ayudar con este ejercicio?
Muchas gracias.
