¿Por qué el producto matricial de 2 matrices ortogonales también es una matriz ortogonal?

Question

He visto la afirmación "El producto matricial de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal." en el sitio web de Wolfram, pero no he visto ninguna prueba en línea de por qué esto es cierto. Por matriz ortogonal, me refiero a una matriz de $n \times n$ con columnas ortonormales. Estaba trabajando en un problema para demostrar si $Q^3$ es una matriz ortogonal (donde $Q$ es una matriz ortogonal), pero creo que entender este caso general probablemente resolvería eso.

Answer 1

Si $$Q^TQ = I$$ $$R^TR = I,$$ entonces $$(QR)^T(QR) = (R^TQ^T)(QR) = R^T(Q^TQ)R = R^TR = I.$$ Por supuesto, esto se puede extender a $n$ muchas matrices de forma inductiva.

Answer 2

Como alternativa a las otras respuestas, aquí hay un punto de vista más geométrico:

Las matrices ortogonales corresponden a transformaciones lineales que preservan la longitud de los vectores (isometrías). Y la composición de dos isometrías $F$ y $G$ es obviamente también una isometría.

(Demostración: Para todos los vectores $x$, el vector $F(x)$ tiene la misma longitud que $x$ ya que $F$ es una isometría, y $G(F(x))$ tiene la misma longitud que $F(x)$ ya que $G$ es una isometría; por lo tanto $G(F(x))$ tiene la misma longitud que $x.)

Answer 3

Que las matrices ortogonales sean conocidas como $M$ y $N$. Por la definición de matrices ortogonales, $M \cdot N$ debe ser ortogonal, como

$$(M \cdot N)^T \cdot (M\cdot N) = N^T \cdot M^T \cdot M \cdot N = N^T \cdot N = I $$ $$(M \cdot N) \cdot (M\cdot N)^T = M \cdot N \cdot N^T \cdot M^T = M \cdot M^T = I $$

Answer 4

Sean $A$ y $B$ dos matrices ortogonales. Tenemos que $$AA^T = A^TA = I$$ y $$BB^T = B^TB = I.$$

Por lo tanto, tenemos $$(AB)^T(AB) = B^TA^TAB = I.$$

Answer 5

Una pista, y el enfoque no es tan directo, pero puede dar una perspectiva diferente:

Verifica que el mapa de un grupo de matrices cuadradas invertibles a sí mismo es un automorfismo

$$g \mapsto (g^{t})^{-1}$$

(de hecho, una involución).

Ahora, para cada endomorfismo de un grupo, el conjunto de puntos fijos forma un subgrupo. En nuestro caso, el subgrupo es $O(n, \mathbb{R})$ (caso real), o $U(n)$ (en el caso complejo). También hay que tener en cuenta que tenemos un automorfismo de un grupo de Lie, y el automorfismo correspondiente de las álgebras de Lie es $X \mapsto -X^t$.