¿Contraejemplo para curvas de interacción y paralelas?

Question

Se dice que si los trazados de las hipotéticas respuestas no son paralelos, sino cruzados, hay interacción. Supongamos que tenemos dos factores. ¿Es posible que los gráficos se crucen pero no haya interacción? Eso es más razonable cuando los gráficos están cerca el uno del otro.
Me he dado cuenta de que ocurre lo contrario. Podemos tener interacción aunque no se crucen ni las curvas del factor A sobre el factor B ni las del factor B sobre el factor A. En un libro que leí esto ocurre cuando la interacción es removible, lo que significa que hay otra variable independiente afín.

Answer 1

A mí me parece que usted (y probablemente muchos libros) confunde el nivel empírico con el teórico: El hipótesis nula de un efecto de interacción en un ANOVA de dos vías se define en el nivel teórico utilizando los valores esperados de la celda $\mu_{jk}$ (y no valores de respuesta): existe una interacción si (y sólo si) las líneas que conectan los $\mu_{jk}$ en un diagrama son exactamente paralelas. Ten en cuenta que "no paralelas" no es lo mismo que "las líneas se cruzan".

Desde el punto de vista empírico, no disponemos de la $\mu_{jk}$ pero sólo pueden trazar sus estimaciones, las medias de las celdas $M_{jk}$ . Incluso si la hipótesis nula es cierta, sus líneas de conexión casi nunca serán exactamente paralelas debido al error de medición. A la inversa, aunque la hipótesis alternativa sea cierta, podrían ser casi paralelas por la misma razón. Una medida para el grado en que la desviación de la paralelidad de las $M_{jk}$ indica interacción es el valor F correspondiente del ANOVA.

Answer 2

Sí, si las respuestas verdaderas (hipotéticas) no son paralelas, hay interacción. Sin embargo, que no sean paralelas no significa necesariamente que los segmentos se crucen. Cuando se investiga la interacción, el error de muestreo puede conducir a resultados diferentes en la muestra que en la población, por lo que es útil calcular intervalos de confianza o intervalos de credibilidad para el alcance de la posible interacción. El alcance de la interacción depende de las escalas de las variables, en casos especiales (interacción extraíble) se produce una transformación cuando los efectos son aditivos y no hay interacción.

Answer 3

Esto depende de lo que se entienda por "interacción". Si los datos no tienen ruido - el gráfico es literalmente sólo dos líneas paralelas, entonces ciertamente no hay interacción, lo sabemos deductivamente, sin necesidad de estadísticas. En segundo lugar, si las líneas no son paralelas, entonces sabemos deductivamente que hay interacción. Así que no hay contraejemplo si no hay ruido.

Pero si hay ruido (o error), entonces hay básicamente más de un lugar posible en el que podrían estar las líneas "sin ruido" o "verdaderas". También es posible que las líneas reales sean paralelas, pero si el ruido es lo suficientemente grande y se obtiene una muestra de ruido "desafortunada", las líneas ruidosas se cruzarán. El grado de "mala suerte" depende de lo "no paralelas" que sean las dos "líneas verdaderas" y de cuántas unidades se hayan muestreado. Consideremos el caso OLS, las líneas se generan por:

$$y_{i}=x_{i}^{T}\beta_{true}+n_{i}$$

Dónde $\beta_{true}$ es un vector 4-D con el intercepto para el grupo 1, el desplazamiento para el grupo 2, la pendiente para el grupo 1 y el desplazamiento respecto a la pendiente para el grupo 2

Ahora se ajusta un MCO a los datos observados, y se obtiene

$$\beta_{OLS}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y=(X^{T}X)^{-1}X^{T}(X\beta_{true}+n)=\beta_{true}+(X^{T}X)^{-1}X^{T}n$$

Así que mediante una cuidadosa elección del ruido podemos hacer que las estimaciones OLS sean básicamente cualquier cosa. Así que no tengo que invertir un $4\times 4$ me especializaré en el caso en que ambos interceptos son iguales a cero, y tenemos

$$y_{ij}=\beta_{1}x_{ij}+\beta_{2}x_{i2}I(j=2)$$

Y entonces $$(X^{T}X)^{-1}=\frac{1}{\left(\sum_{i}x_{i1}^{2}\right)\left(\sum_{i}x_{i2}^{2}\right)}\begin{pmatrix} \sum_{i}x_{i1}^{2}+\sum_{i}x_{i2}^{2} & -\sum_{i}x_{i2}^{2} \\ -\sum_{i}x_{i2}^{2} & \sum_{i}x_{i2}^{2} \end{pmatrix}$$ $$=\frac{1}{\sum_{i}x_{i1}^{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} +\frac{1}{\sum_{i}x_{i2}^{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

Ahora para $X^{T}n$ que tenemos:

$$X^{T}n=\sum_{i}x_{i2}n_{i2}\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} +\sum_{i}x_{i1}n_{i1}\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$$

Y así el error total de la regresión es:

$$\frac{\sum_{i}x_{i2}n_{i2}+\sum_{i}x_{i1}n_{i1}}{\sum_{i}x_{i2}^{2}}\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} +\frac{\sum_{i}x_{i1}n_{i1}}{\sum_{i}x_{i1}^{2}}\begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix}$$

Ahora bien, si las pendientes verdaderas son paralelas, de modo que $\beta_{2,true}=0$ entonces las estimaciones OLS serán:

$$\hat{\beta}_{1}=\beta_{1,true}+\frac{\sum_{i}x_{i2}n_{i2}+\sum_{i}x_{i1}n_{i1}}{\sum_{i}x_{i2}^{2}}+\frac{\sum_{i}x_{i1}n_{i1}}{\sum_{i}x_{i1}^{2}}$$ $$\hat{\beta}_{2}=-\frac{\sum_{i}x_{i1}n_{i1}}{\sum_{i}x_{i1}^{2}}$$

Ahora bien, esto demuestra que la estimación OLS puede efectivamente conducir a interacciones erróneas, basta con elegir el ruido "verdadero" de tal manera que esté altamente correlacionado con $x_{i1}$ - Esencialmente tienes que violar uno de los supuestos de OLS, la no heteroscedasticidad del ruido. Así que si usted genera datos de acuerdo con:

$$y_{i1}=x_{i1}(\beta_{1,true}+n_{i1})$$ $$y_{i2}=x_{i2}\beta_{1,true}+n_{i2}$$

Y luego tratar de ajustar un modelo de interacción utilizando OLS de $y$ en $x$ con una interacción, encontrará un resultado significativo, aunque las betas verdaderas sean las mismas. Los gráficos se cruzarán debido al abanico del primer grupo.

Un conjunto de datos de ejemplo (la beta verdadera es 2 y el ruido se generó a partir de la normal estándar). Se obtiene un estadístico t superior a 10 para el efecto de interacción:

$$\begin{array}{c|c} group & y & x \\ 1 & 1.282817715 & 1 \\ 1 & 2.026032115 & 2 \\ 1 & 5.9786882 & 3 \\ 1 & 22.1588319 & 7 \\ 2 & 16.28587668 & 9 \\ 2 & 15.12007527 & 6 \\ 2 & 9.566273403 & 5 \\ \end{array}$$