Homotópica retraer vs deformación se retracte de

Question

Digamos que $A \subset X$ es una deformación de retractarse. De ello se desprende que $A$ es un retractarse y un espacio homotopically equivalente a $X$. Es a la inversa verdad? Probablemente no, pero no he podido encontrar ningún ejemplo todavía.

Más específicamente, a la inversa sería:

Si $A \subset X$ es un retractarse de lo que es homotópica a $X$ como un espacio topológico, entonces ¿existe un homotopy entre la retracción y el mapa de identidad: $$H:X \times [0, 1] \to X$$ tal que $H(x,0)=x$, $H(x,1)\in A$ y $H(a,1)=a$$a\in A$.

Answer 1

No. Deje $X = \{0,1,2,3,\dots\}$$A = \{1,2,3,\dots\}$, tanto con la topología discreta, y deje $i: A \to X$ ser la inclusión. A continuación, $i$ tiene una retracción $r: X \to A, n\mapsto\max\{n,1\}$, e incluso un cofibration. $X$ $A$ son claramente isomorfo. La inclusión, sin embargo, no es un homotopy de equivalencia.

Answer 2

Si tu pregunta es si cada espacio de $Y$ que es homotopically equivalente a un espacio de $X$ debe ser un retractarse de $X$ entonces este es sin duda no es cierto. Uno de los requisitos fundamentales para una deformación de retracción es que $A \subset X$. Uno puede fácilmente producir homeomórficos espacios que no son subespacios de cada uno de los otros. Considere dos disjuntas discos de diferentes radios en el plano. ¿Responde esto a tu pregunta?