Teoria de las promonadas

Question

Me llevó a definir un promonad en $\bf D$ como monoid en la categoría de endo-profunctors de una categoría $\bf D$, donde el producto de dos profunctors es su composición como profunctors: $$ F\odot G := \int^D F(-,D)\times G(D,-) $$ Es esta teoría desarrollada de un modo general en cualquier libro/artículo?

En el caso de $\bf D$ es pequeño y discreto, promonads en $\bf D$ corresponden a pequeñas categorías con $\bf D$ como conjunto de objetos, que me parece bastante sorprendente: puede que este resultado puede generalizarse para el caso de que $\bf D$ es cualquier categoría de pequeña, que conduce a una noción de "grueso" de la categoría? ¿Cuál es la intuición detrás de esta estructura?

Y ¿cómo puedo reconocer en $\text{Pro-Mnd}(\bf D)$ diversas categorías que puedo obtener del conjunto de $\bf D$ (la discreta uno debe corresponder a un "trivial" promonad, el máximo conectado groupoid a otro promonad que no soy capaz de caracterizar)?

Answer 1

Un promonad 'en la categoría de $\bf D$ es de la categoría de corresponsal de un álgebra sobre un anillo de $R$.

Yo prefiero mirar profunctors $\ F:{\bf A}^{op}\times{\bf B}\to\bf{Set}\ $ como sus collages: teniendo en cuenta los elementos de cada una de las $F(A,B)$ 'exterior flechas" (heteromorphisms) de$A$$B$, dando así una mayor categoría que contiene (disjointly) $\bf A$ $\bf B$ y estos heteromorphisms.

El heteromorphisms de la composición, $F\odot G$ son sólo los pares consecutivos de heteromorphisms (quotienting por $\langle f\beta,g\rangle\,\sim\,\langle f,\beta g\rangle$ $\beta$ en la categoría intermedia, como una especie de producto tensor).

A continuación, una endoprofunctor $F:{\bf D}\not\to {\bf D}$ contiene los mismos objetos como $\bf D$ (a cada uno dos veces), y posiblemente heteromorphisms entre ellos. Un monoid estructura agrega asociativa de la composición de operación $F\odot F\to F$, y un 'inserción' $\hom_{\bf D}\to F$, lo que representa original de todos los $\bf D$-flechas como real heteromorphisms en $F$ (tenga en cuenta que esto no es necesario para ser inyectiva). Esto da lugar a una categoría $\bf F$ sobre los objetos de $\bf D$ con el heteromorphisms de $F$ como flechas, equipado con la 'inserción' functor ${\bf D}\to{\bf F}$.

Así, en este punto de vista, un promonad $\bf D$ es sólo otra categoría $\bf F$ sobre el mismo objeto de la clase equipado con un functor $U:\bf D\to\bf F$, que es idéntico al de los objetos:

Si tal se da, de forma que el profunctor $F$, de modo que $F(A,B):={\bf F}(A,B)$, para morfismos $\gamma:A'\to A,\ \ \delta:B\to B'$, definir $$\ F(\gamma,\delta):= f\mapsto U\delta\circ f\circ U\gamma\,,$$ el monoid estructura proviene de la composición en $\bf F$,$U$, ya que la unidad.

Answer 2

Prefiero pensar profunctors $\mathbb{A} \to \mathbb{B}$ (lo que significa para mí un functor $\mathbb{A} \to [\mathbb{B}^{\textrm{op}}, \textbf{Set}]$) como en secreto colimit-la preservación de functors $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \to [\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. De hecho, la presheaf topos $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ se caracteriza por los siguientes universal de los bienes:

• Para cada cocomplete categoría $\mathcal{E}$, el functor $\textbf{Cocont}([\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}], \mathcal{E}) \to [\mathbb{A}, \mathcal{E}]$ el envío de un colimit-preservar el functor $F : [\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \to \mathcal{E}$ a la composición de $F Y : \mathbb{A} \to \mathcal{E}$ donde $Y : \mathbb{A} \to [\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ es el Yoneda incrustación, es totalmente fiel y surjective sobre los objetos.

En particular, $[\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ es un cocomplete categoría, por lo que la categoría de functors $\mathbb{A} \to [\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ es pseudonaturally equivalente a la categoría de colimit-la preservación de functors $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \to [\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, y uno puede comprobar que esto hace que el bicategory de categorías pequeñas y profunctors 3-equivalente al 2-categoría de presheaf toposes y colimit-la preservación de functors. (Uno puede pensar de la bicategory de profunctors como un bicategorical análogo de la Kleisli categoría para el pseudomonad que envía una pequeña categoría a su libre cocompletion... pero tal pseudomonad no puede ser definido en el 2-categoría de categorías pequeñas, así que esto no es literalmente cierto.)

Por lo tanto, una mónada en $\mathbb{A}$ en el bicategory de profunctors es la misma cosa como una mónada en $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ cuyo subyacente endofunctor conserva colimits. Es cierto que cada categoría $\mathbb{B}$ que admite una identidad-en-objetos functor $\mathbb{A} \to \mathbb{B}$ induce un mónada: en efecto, por la precomposición, obtenemos un conservador functor $[\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \to [\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, con una izquierda y a la derecha adjunto, y así por Beck monadicity teorema, $[\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ es monádico $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$.

Por otro lado, supongamos que tenemos una mónada $\mathsf{T}$ $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ cuyo subyacente endofunctor conserva colimits. Deje $\mathcal{B}$ ser la categoría de $\mathsf{T}$-álgebras. Por norma tonterías, el olvidadizo functor $U : \mathcal{B} \to [\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ es conservador, ha dejado adjoint $F : [\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, y crea límites y colimits. El uso de Weber nerviosas del teorema se sigue que el pleno de la subcategoría $\mathbb{B}$ $\mathcal{B}$ generado por los $\mathsf{T}$-álgebras de la forma $F Y A$ $A$ un objeto en $\mathbb{A}$ tiene la propiedad de que el restringido Yoneda incrustación $\mathcal{B} \to [\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ es totalmente fiel y conserva todas las colimits. Pero la característica universal de $[\mathbb{B}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ implica que esta es una equivalencia de categorías, de modo que, de hecho, cada mónada cuyo subyacente endofunctor conserva colimits debe ser de esta forma.

Answer 3

Antes de empezar algunos datos generales sobre cocomplete monoidal cerrado categoría:

• en cualquier categoría de este tipo $\mathcal V$ podemos construir la bicategory de monoid, bimodules y bimodules morfismos;
• fija cualquier monoid $M$ en este bicategory se puede considerar que la categoría monoidal de $M,M$-bimodules;
• en tal categoría monoidal un monoid es sólo un monoid $N$ $\mathcal V$ con un monoid de morfismos $M \to N$.

Este último hecho es la generalización de la bien sabido acerca de $R$-álgebras, es decir, que todos los $R$-álgebra puede ser visto como un $R,R$-bimodule con un $R$-lineal asociativa y unital multiplicación o como un anillo con un anillo homomorphism de $R$ (recordamos que los anillos son monoid en el cocomplete cerrado categoría monoidal $\mathbf {Ab})$.

Ahora vamos a hacer algo de trabajo!

Juan Báez dijo que podemos recuperar la bicategory de conjuntos, se extiende entre el conjunto y el intervalo morfismos como el bicategory de monoids, bimodules y bimodules morfismos en $\mathbf {Set}^\text{op}$.

Una mónada en tales bicategory no es nada más que una categoría (como se dijo en la pregunta) y un bimodule es sólo un profunctor.

Así que el bicategory de categorías, profunctors y transformación natural entre aquellos que no es sino la bicategory de monoids, bimodules y bimodules morfismos en $\mathbf {Set}^\text{op}$.

Ok, ahora volviendo a tu pregunta: ¿qué es una mónada en tales bicategory? Bien para empezar una mónada es una monoid en uno de los monoidal categoría de $C,C$-bimodules (un.k.una. profunctors).

Una mónada debe ser sólo una $C,C$-bimodule para algunos categoría/monoid $C$, $C$- lineal de la estructura monoidal.

A partir de lo que hemos dicho más arriba, se trata de datos son equivalentes a un monoid $N$ en la categoría monoidal de abarca en $\mathcal{O}(C)$ (por lo $N$ es sólo una categoría) con un monoid de morfismos (es decir, un functor) de la categoría $C$$N$.

Espero que esto ayude.