Definición de$\frac{dy}{dx}$ donde no podemos escribir$y=f(x)$

Question

De manera informal, puedo decir que "para un pequeño cambio de unidad en $x$, $\frac{dy}{dx}$ es el correspondiente cambio pequeño en $y$". Sin embargo, esto es un poco vaga e imprecisa, que es por eso que tenemos una definición formal, tales como:

Donde $y=f(x)$, definimos $$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. $$

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Pero ¿qué pasa si no somos capaces de expresar $y$ como una función de la $x$? (Elegir una al azar ejemplo, digamos que tenemos $\sin (x+y) + e^y = 0$.)

Entonces ¿cuál sería la definición general de las $\frac{dy}{dx}$? (¿Cómo sería la definición anterior ser modificado?)

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Elaborar, aplicar el $\frac{d}{dx}$ operador para mi aleatorios ejemplo, obtenemos $$\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\cos(x+y)+e^{y}\frac{dy}{dx}=0 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{-\cos(x+y)}{\cos(x+y)+e^{y}}.$$

De nuevo, puedo decir que "para un pequeño cambio de unidad en $x$, $\frac{dy}{dx}$ es el correspondiente cambio pequeño en $y$". Pero ¿qué sería de la correspondiente precisa, la definición formal?

Answer 1

Una ecuación de la forma $F(x,y)=0$ no necesariamente definir implícitamente una función de $y$$x$, al menos no para todos los $x$. Pero cuando y donde lo hace (véase el teorema de la función implícita), usted podría llamar a esta función $f$ y el uso de la misma definición (no el método para calcular!) para la derivada.

Sin embargo, hay maneras de encontrar la derivada, sin necesidad de conocer una fórmula explícita $y=f(x)$, que es, de hecho, no siempre es posible. Echa un vistazo a diferencia implícita para esto, que es exactamente lo que hizo en su ejemplo.

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Voy a elaborar un poco más. Usted no debe mezclar el concepto matemático de función y una fórmula explícita para la función. Tan explícito fórmula no tiene que existir! El teorema de la función implícita (ver enlace arriba) dice que cuando los puntos que satisfacen una ecuación de la forma $F(x,y)=0$ localmente puede ser visto como la gráfica de alguna función $y=f(x)$.

Answer 2

Al parecer, se están mezclando dos cosas: "la definición de la derivada de" y "un método práctico para calcular la derivada en un contexto determinado". El límite de la definición no debe ser utilizado para el cálculo de derivadas de funciones complicadas, sino que se supone que se utiliza para demostrar teoremas y estos teoremas resultan ser la base de las técnicas de diferenciación de funciones complicadas.

Así, cuando se está aplicando el operador $d/dx$ en $$\sin(x + y) + e^{y} = 0\tag{1}$$ you are in effect assuming that the equation $(1)$ defined a genuine function $y = f(x)$ of $$ x en un cierto intervalo y, a continuación, utiliza las reglas básicas de diferenciación (principalmente de la suma de la regla y de la regla de la cadena).

Tenga en cuenta que, en general, no todas las ecuaciones de tipo $f(x, y) = 0$ conduce a una función de $y = g(x)$. En el caso de la ecuación de $(1)$ hay una función genuina de $y = f(x)$ y, por tanto, sobre la base de esta suposición podemos diferenciar la ecuación de $(1)$ y encontrar $f'(x)$ con algunos manipulación algebraica.

En muchos casos no es posible/deseable utilizar el límite de la definición de derivada para calcular. El ejemplo que usted le dio es uno de esos casos, porque aquí no tenemos una fórmula explícita para $f(x)$ en términos de funciones elementales. Tenga en cuenta que la definición de $f'(x)$ no supone que no debe ser explícito de la fórmula para calcular el $f(x)$ en términos de funciones elementales y, por tanto, podemos muy bien hablar de $f'(x)$ donde $f(x) = y$ está dado por la ecuación de $(1)$ en manera implícita.

Answer 3

Sí existe un $y(x)$ tal que $\sin{(x+y(x))} = e^{y(x)}$ es cierto para todos los $x$ en un (sensatez elegido) intervalo abierto $I$. [1] no puede ser capaz de escribirlo, pero existe. Podemos hacer cálculos en esta $y$, por lo que el derivado $y'(x) = \lim_{a\rightarrow x} \frac{y(a) - y(x)}{a-x}$ está bien definido, pero (de nuevo) no (inmediatamente) se puede expresar en términos de funciones elementales. Podemos, en este caso, encontrar una expresión para $y'(x)$ por medio de la generalización en la regla de la cadena, debido a que $R(x,y) = \sin{(x+y)} + e^y$ se expresa en términos de funciones elementales y sus derivadas parciales son fáciles de encontrar.

[1] en Realidad, existen una infinidad de $y$, ya que el $\sin{(x+y+n\pi)} = \sin{(x+y)}$, por lo que elegimos un $y$ correspondiente a un determinado valor de $n$.