¿Por qué es esta una triangulación incorrecta?

Question

¿Por qué es esta una triangulación incorrecta?

Debo decir que tuvimos una triangulación al final del curso de topología, así que no en detalles. Y el profesor solo mencionó las reglas básicas para la triangulación, pero en este caso, no sé por qué falla.

Answer 1

Para una triangulación, requerimos que los triángulos que se cruzan en un punto o en un borde. En el diagrama, cuatro de los triángulos tienen los puntos de $1$ $4$ como vértices, y cuatro de los seis posibles pares de estos triángulos se cruzan allí, pero no a lo largo de un borde de conectar $1$$4$.

$T_1$ $T_2$ foto también muestran que esto no es una triangulación, ya que se cruzan sólo en los puntos de $1$$2$.

Estoy asumiendo que las únicas identificaciones que se están realizando son las que se muestran, es decir, los puntos. Si las aristas de contorno se identifican, entonces creo que lo que he dicho en el primer párrafo, es cierto. Los triángulos correspondientes a $134$ $124$ se cruzan sólo en los puntos de $1$$4$, a pesar de la intersección de las $T_1$ $T_2$ será entonces el borde de la $12$ lo cual está bien.

Answer 2

Vamos a escribir el resumen simplicial complejo asociado a su dibujo (tenga en cuenta que un resumen simplicial complejo es un conjunto finito de conjuntos y así se repite se omite). Tenemos la $2$-células, $$\{1,2,3\},\{2,3,4\},\{1,2,4\},\{1,3,4\}$$ el $1$-células de $$\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}$$ y el $0$-células de $$\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}.$$

Supongamos que el geométrica realización de este conjunto simplicial es el toro. Sabemos que la característica de Euler de el toro es $0$, pero mediante el uso de la fórmula $\chi=V-E+F$ le aparentemente consigue $\chi=4-6+4=2$. Así que algo ha ido mal y, de hecho, la realización geométrica de las anteriores simplicial complejo es en realidad homeomórficos a la esfera (de hecho, es el límite de la habitual $3$-simplex).

El problema es que usted no puede tener una triangulación en la que cualquier par de los triángulos (simplices) comparten una frontera común. Ciertamente, $\partial\Delta_i\cap\partial\Delta_j$ puede ser no vacío, pero no podemos tener $\partial\Delta_i=\partial\Delta_j$ $i\neq j$ ya que de lo contrario no tenemos un verdadero complejo simplicial. (Nota, esta noción de células comparten una frontera común sólo es rechazado por simplicial complejos, más tarde, se espera que sea introducido a la noción más amplia de CW-complejos que hacer permitir que las células se entrecruzan completamente y, de hecho, las células individuales pueden, incluso uno mismo se cruzan en su límite.)

Es útil recordar que cualquier vértices que comparten una etiqueta serán identificados en el geométrica de la realización, pero también lo harán los bordes y más caras que comparten las mismas etiquetas que son puramente determinado por su límite de vértices. Así que en su imagen que sería la identificación de los bordes y las caras que usted realmente no quiere identificar al formar el toro.

¿Cuál es la ventaja de esto? Bien, usted ha encontrado un buen cociente mapa de el toro a la $2$-esfera :).

Answer 3

Los triángulos superior izquierda e inferior derecha tienen vértices$(1, 2, 3)$. En una triangulación, no hay dos triángulos que tengan el mismo conjunto de vértices.