Cómo factorizar un polinomio en el anillo$\mathbb{Z}_p[x]$

Question

Yo ya me hice una pregunta: ¿Cómo es $x^2 + x + 1$ reducible en $\mathbb{Z}_3[x]$?, y tengo dijeron que no se que podría factorise $x^2 + x + 1 = (x + 2)(x+2) = (x-1)(x-1)$ en el ring $\mathbb{Z}_3[x]$ y entiendo por qué.

Lo que quiero saber es:

• Si me dan un polinomio, que permite decir $x^2 + x + 1$, ¿qué clase de cosas estoy buscando a factorise?
• ¿Este cambio es que es un polinomio de orden superior (decir algo como $x^4 - 1$ (que es la pregunta que tengo que resolver, por favor, no dar una respuesta para ella).
• Como el anillo es $\mathbb{Z}_p[x]$, ¿ sólo miro por la $x$ coefficiant a ser $\mod p$ o no buscar en todos los coefficiants?
• Habrá un número finito de soluciones?
• Hay un método para factorise (i,e fórmula cuadrática) o ¿sólo tengo que observe la forma del polinomio?

EDIT: En mi ejemplo, si quiero factorise $x^2 + x + 1$ en el ring $\mathbb{Z}_3[x]$, ¿quiero encontrar polinomios donde he a $[1]x^2 + [1]x + [1]$ cuando la $[a]$ es la relación de equivalencia (si esa es la palabra correcta?) $a \mod p$, por lo que en este caso sería $1 \mod 3$?

Answer 1

Polinomios cuadráticos puede ser factorizado por medio de la fórmula cuadrática para encontrar sus raíces (excepto en la característica 2, donde las cosas son más difíciles).

Polinomios cúbicos puede ser factorizado mediante el cúbicos fórmula para encontrar sus raíces (excepto las de carácter 2 o 3, donde las cosas son más difíciles). Por supuesto, al igual que en los racionales, esto es doloroso (aunque con menos así, de la OMI). Muchas veces se puede identificar una raíz, aunque, en cuyo caso puede el factor el factor linear.

Para algunos polinomios especiales, la identificación de las raíces (en el clausura algebraica) de una forma especial puede ser muy útil si usted puede relacionarse con ellos estructural cosas como las normas o de rastros o raíces de la unidad.

Existen métodos generales para el factor. Uno de los principales pasos es utilizar el hecho de que las raíces de $ x^q - x$ son todos los elementos de a $\mathbf{F}_q$. Así, por ejemplo, usted puede encontrar el producto de todos los distintos lineal de los factores de un polinomio $f(x)$ $\mathbf{F}_p$ por la informática

$$ \gcd(x^p - x, f(x)) $$

Esto es útil, porque uno puede calcular de manera eficiente exponenciación modular

$$ x^p \pmod{f(x)} $$

para obtener una gigantesca corto-corte del primer paso del algoritmo de Euclides.

Del mismo modo, el producto de todos los cuadrática y lineal de los factores está dada por

$$ \gcd(x^{p^2} - x, f(x)) $$

(debido a que las raíces de una irreductible cuadrática $\mathbf{F}_p$ son elementos de $\mathbf{F}_{p^2}$)

Haciendo estos cálculos se llama "distintos grados de factorización". El siguiente paso en un típico general de la factorización de algoritmo es "la igualdad de grado de la factorización".

Answer 2

Salvo algunos ejemplos realmente desagradables, buscaría ceros y los eliminaría en una factorización. Tenga en cuenta que el mod de multiplicación$p$ está bien definido, por lo que puede factorizar en$\mathbb{Z}$ y luego reducir si eso es lo que lo hace feliz. Habrá un número finito de resultados, ya que un polinomio sobre un dominio integral de grado$n$ solo puede tener como máximo$n$ raíces (es una buena idea tratar de probar esto [probar la inducción]).