Encontrando el límite$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-xy}\quad-1}{y^3}dy}{\ln(1+x)}.$

Question

Encontrar el siguiente límite:$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-xy}\quad-1}{y^3}dy}{\ln(1+x)}.$ $

En mi forma de pensar, la regla de L'Hopital es útil para esta pregunta. Luego$\frac{d}{dx}\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}\quad-1}{y^3}dy=\int_{1}^{+\infty }\frac{\partial}{\partial x}(\frac{e^{-xy}\quad-1}{y^3})dy,\forall x\in [0,1],$, pero parece inútil obtener la respuesta. Necesito ayuda, gracias.

Answer 1

Un enfoque posible:

1). Utilizar el Teorema de Convergencia Dominada (o una variante de/teorema de la derivada de ella) para mostrar que $$ \frac{1}{x}\int_{[1,\infty)} \frac{e^{-x}-1}{y^3} dy \xrightarrow[x\to0]{} -\int_{[1,\infty)} \frac{dy}{y^2} $$

2). El uso de este (y el hecho de que $\frac{x}{\ln(1+x)} \xrightarrow[x\to0]{} 1$) para mostrar que $$ \frac{1}{\ln(1+x)}\int_{[1,\infty)} \frac{e^{-x}-1}{y^3} dy \xrightarrow[x\to0]{} -\int_{[1,\infty)} \frac{dy}{y^2} $$

Para ver la intuición detrás de el primer paso: $e^{-xy} \operatorname*{=}_{x\to 0} 1 - xy + o(x)$, para cualquier fija $y$, de modo que (wishfully) $$ \int_{[1,\infty)}\frac{e^{-x}-1}{y^3} dy \approx \int_{[1,\infty)}\frac{-x} de{y^3} dy = \int_{[1,\infty)}\frac {x}{y^2} dy$$ when $x\to 0$.

Answer 2

Dejar $f(x)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xy}-1}{y^3}dy,\quad g(x)=\ln(1+x).$

Usando la regla de L'Hopital , tenemos$$\lim_{x\rightarrow0 ^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow0 ^+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}.\quad (1)$$ and $$f'(x)=\int_{1}^{\infty }\frac{\partial}{\partial x}(\frac{e^{-xy}\quad-1}{y^3})dy=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xy}}{y^2}dy.\quad(2)$$ $$(1)+(2)\Longrightarrow\lim_{x\rightarrow0 ^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xy}}{y^2}dy}=\int_{1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{e^{-xy}}{y^2}dy=-1.$ $