$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} ^2$ utilizando la identidad de Parseval

Question

Me encuentro con el siguiente problema:

Necesito calcular $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} ^2$ utilizando la identidad de Parseval para la función $f(x) = (1+e^{i x})^n$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$f(x) = (1+e^{i x})^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{i k x}$ por lo que los coeficientes de Fourier de $f$ son $f_k = \begin{cases} \binom{n}{k} & 0 \leq k \leq n \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ . Ahora me gustaría utilizar Parseval, pero lo que me está haciendo tropezar es cómo obtener $\int_0^{2 \pi} |f(x)|^2 dx$ .

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Quizá podrías utilizar métodos complejos: Tienes $$ |f(x)|^2=(1+e^{ix})^n(1+e^{-ix})^n. $$ Sea $z=e^{ix}$ . Entonces, por la fórmula de la integral de Cauchy, $$ \begin{aligned} \int_0^{2\pi}|f(x)|^2\,dx &=\int_0^{2\pi}(1+e^{ix})^n(1+e^{-ix})^n\,dx\\ &=\int_{|z|=1}(1+z)^n(1+1/z)^n\frac{1}{iz}\,dz\\ &=-i\int_{|z|=1}(1+z)^{2n}\frac{1}{z^{n+1}}\,dz\\ &=-i\cdot i2\pi\cdot\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dz^n}(1+z)^{2n}\Bigl|_{z=0}=2\pi\binom{2n}{n}. \end{aligned} $$

Answer 2

Usa eso $1+\cos(x)=2 \cos^2(x/2)$ y $$\int_0^{2\pi}\cos^{2n}(x/2)\mathrm{d}x = 4^{-n}{2n \choose n}\, 2\pi.$$ Esto último puede demostrarse mediante integración parcial e inducción.

Answer 3

Quizá esto te ayude:

\begin{align*} |f(x)|^2 &= [(1+e^{ix})(1+e^{-ix})]^n = [2+2\cos(x)]^n\\ &= 2^n[1+\cos(x)]^n = 2^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cos^k(x). \end{align*}