En una variedad de Riemann (a lo largo de una geodésica), ¿la relación * es conjugada con * transitiva?

Question

Deje $(M, g)$ completa de Riemann colector.

Supongamos $\gamma : \mathbb{R} \rightarrow M$ es una geodésica tal que en el instante en $0$ es conjugado a ambos $a$$b$, donde los números de $a, b, 0$ son distintos.

Pregunta: ¿no se sigue que la $a$ $b$ son conjugado a cada uno de los otros?

Traté de probar esto, pero no podía. Entonces traté de encontrar un contraejemplo, sólo para darse cuenta de que la única interesante ejemplo que conozco de cuando se trata de conjugar los puntos de la esfera, que es bastante especial.

EDIT: he Aquí mi definición de dos de los instantes de ser conjugado a cada uno de los otros a lo largo de una geodésica $\gamma : \mathbb{R} \rightarrow M$.

Los instantes, $t_0, t_1 \in \mathbb{R}$ son conjugar a lo largo de $\gamma$ si y sólo si existe un trivial (es decir, no idéntica a cero) Jacobi campo a lo largo de $\gamma$ de fuga en$t_0$$t_1$.

Estoy en una pérdida. Cualquier sugerencias son bienvenidas. Gracias!

Answer 1

No, esta relación no es transitiva. El ejemplo más simple que conozco es el producto$M$ de dos esferas$M_1, M_2$ de radios, por ejemplo,$1$ y$1.1$. Ahora, tome un$\gamma$ geodésico en$M$ que se proyecta a geodésicos no constantes$\gamma_i$ en cada factor. Luego, levante los campos de Jacobi de$M_i$ 's (a lo largo de$\gamma_i$) a dos campos de Jacobi$J_1, J_2$ en$M$ a lo largo de$\gamma$.

Answer 2

Está claro que la respuesta es sí si usamos el mismo campo de Jacobi, es decir, el campo de Jacobi se desvanece dos veces en$a$ y en$b$, por lo que los tres puntos se conjugan por pares. Si tiene dos variaciones diferentes de dos geodésicas diferentes que generan dos campos Jacobi diferentes$J_1$ y$J_2$ y desaparecen en los puntos$a$ y$b$ respectivamente, no tiene nada que decir sobre $a$ y$b$.