Una ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden que contiene varios cuadrados

Question

La Ecuación:

Encuentra todas las funciones diferenciables $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen:

$$\big(\,f(x)-x\,f'(x)\big)^2 = \big(\,f'(x)\big)^2 + 1 \; \; \; \; \; \text{para todo}\,\,\, x \in I,$$ donde $I$ es un intervalo abierto.

Esto no es una tarea. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

No sé si mi enfoque es correcto, pero encontré que:

$$f(x) = A \, x \pm \sqrt{1+A^2}, \quad A \in \mathbb{R},$$

es una solución de tu EDO. Usé el método de Lagrange-Charpit para resolver una "falsa" PDE de 1er orden para $f = f(x,y)$, asumiendo que no hay dependencia de $y$.

Si deseas más detalles, solo pídelos.

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Editar

Las ecuaciones de Lagrange-Charpit establecen que, para una ecuación en derivadas parciales no lineal escrita en la forma:

$$G(f(x_1,x_2,\ldots,x_N),p_i,x_i) = 0,$

donde $f$ es una función desconocida (variable dependiente), $p_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$, o en el caso especial de $N = 2$, $x_i = (x,y)$, para simplificar la notación, se cumplen las siguientes relaciones:

$$ \frac{dx}{G_p} = \frac{dy}{G_q} = \frac{df}{pG_p + qG_q} = - \frac{dp}{G_x + pG_f} = -\frac{dq}{G_y + q G_f}, $$

Dado que:

$$\begin{align} G & = (f-xp)^2 -p^2-1 = 0, \\ G_x & = 2(f-xp)(-p), \\ G_y & = 0, \\ G_f & = 2 (f-xp), \\ G_p & = 2 (f-xp)(-x)-2p, \\ G_q & = 0, \end{align} $$ tienes:

$$\frac{dx}{2(f-xp)(-x)-2p} = \frac{dy}{0} = \frac{df}{2p(f-xp)(-x)-2p^2} =$$ $$= \frac{dp}{2(f-xp)(-p)+2p(f-xp) } = \frac{dp}{0} = \frac{dq}{2q(f-xp)}.$$

Esto te dice, entre otras cosas, que $dp = 0$, entonces $p = A$ es una constante. Dado que $p = f_x$ puedes integrar para obtener $f$, así que:

$$f(x,y) = A x + B(y),$$

para $B(y)$ alguna función arbitraria de $y$. Sustituye de nuevo en la ecuación original, $G = 0$ para obtener una relación entre $A$ y $B$, que resulta ser:

$$B^2(y) - A^2 - 1 = 0,$

así que $$B(y) = B = \pm \sqrt{1+A^2},$$ y $B$ no depende de $y, como se esperaba porque $f$ originalmente no dependía de $y$.

En resumen, he tratado tu EDO original como una PDE no lineal de 1er orden para la variable dependiente $f = f(x,y)$, pero, como ya sabíamos, $f = f(x)$, como se ha demostrado.

¡Saludos!

Answer 2

Se obtienen dos conjuntos de soluciones como se muestra a continuación: