¿Construyendo epimorfismo bien definido en$S_3$?

Question

Deje que$\Lambda$ denote al grupo con la presentación $ \ langle a, b \ mid abab ^ {- 1} a ^ {- 1} b ^ {- 1} \ rangle$. Construct an epimorphism from $ \ Lambda $ en$S_3$, asegurándose de verificar que la función esté bien definida.

Así que quiero encontrar un homomorfismo suprayectivo desde$\Lambda$ a$S_3$. Definimos$\theta: \Lambda(a,b) \rightarrow S_3$ usando$a \mapsto (12)$ y$b \mapsto (23)$. ¿Es esto correcto? ¿Cómo puedo comprobar que este empimorfismo está bien definido?

Answer 1

Usted necesita para comprobar que $$ (12)(23)(12)(23)^{-1}(12)^{-1}(23)^{-1} $$ es la identidad de permutación, que lo es. Por lo que la asignación se define un homomorphism $\Lambda\to S_3$. Es surjective debido a que el subgrupo generado por a$(12)$$(23)$$S_3$.

Básicamente, la asignación de $a\mapsto(12)$ $b\mapsto(23)$ define un único homomorphism de la libre grupo de $F$ en los dos generadores $a$$b$; la relación $$ (12)(23)(12)(23)^{-1}(12)^{-1}(23)^{-1}=\mathit{id} $$ dice que esta homomorphism factores mediante el cociente modulo normal subgrupo $H$ $F$ generado por $abab^{-1}a^{-1}b^{-1}$ y, por definición, $\Lambda=F/H$.