¿Existe una forma general de resolver $y'=Ay+b$ con $y, b \in \mathbb{R}^n$ , $A$ una matriz, y donde $A$ y $b$ son constantes? Estoy tentado de hacer la sustitución $z = y+A^{-1}b$ y luego utilizar la matriz exponencial, pero ¿qué pasa si $A$ no es invertible?
Respuesta
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La solución general del siguiente sistema lineal
$$\dot{x(t)}=Ax(t)+Bu(t);x(t_0)=x_0$$
viene dada por
$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^t \! e^{A(t-\tau)}Bu(\tau) \, \mathrm{d}\tau.$$
Esto se puede demostrar mediante el método de la transformada de Laplace. Para su sistema la entrada $u(.)\in\mathbb{R}$ puede representarse mediante la función escalonada.
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Utilizar el factor integrador $e^{-At}$ . El sistema equivale a $(e^{-At}y(t))'=e^{-At}b$ .
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@A.G. +1 por la sugerencia. Aún así prefiero usar el método de variación de constantes :)