Parece bastante trivial, pero me cuesta mostrarlo.
También me sorprende el buen enfoque de probar que un grupo no se genera de forma definitiva.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La cardinalidad es off. El grupo simétrico tiene la cardinalidad del poder establecido, véase, por ejemplo, http://mathoverflow.net/questions/27785/cardinality-of-the-permutations-of-an-infinite-set. Pero un finitely generado grupo contable.
Como se señaló en los comentarios: es interesante remarcar que el subgrupo que consta de todas las permutaciones que se mueven sólo un número finito de elementos es evidente que no finitely generado (como cualquier lista de generadores deberían conjuntamente solucionar infinidad de elementos). Sin embargo, esto no resuelve el problema, ya que es perfectamente posible para un finitely generado grupo infinitamente generado subgrupo (el famoso, el grupo libre en 2 cartas contiene una infinitamente generado subgrupo).
