Calcular la suma de la serie$‎\sum_{k=1}^\infty (k+x-m)^\alpha e^{\beta (k+x-m)}$.

Question

He sido atrapado con el cálculo de la suma de la serie de el siguiente problema. Me pueden ayudar?

$‎\sum_{k=1}^\infty‎(k+x-m)^\alpha ‎e^{‎\beta‎(k+x-m)}‎$

para $‎‎\alpha‎>0‎$, $‎‎\beta‎<0‎$, $‎m\in‎\mathbb{N}‎$ e $‎x‎\geq ‎0‎$.

Sé que $‎\sum_{k=1}^\infty ‎k^\alpha ‎e^{‎\beta ‎k} = Li_{-‎\alpha}‎ (e^\beta)‎$que $‎Li_n ‎(x)‎$ es el Polylogarithm función.

Answer 1

La suma puede expresarse mediante la función zeta de Lerch:

% $-\dfrac{e^{\beta (x-m)}}{(x-m)^{-\alpha}}+e^{\beta (x-m)}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{e^{\beta k}}{(k+x-m)^{-\alpha}}=e^{\beta (x-m)}L(\frac{\beta}{2\pi i},x-m,-\alpha)-\dfrac{e^{\beta (x-m)}}{(x-m)^{-\alpha}}$

Answer 2

$‎S=\sum\limits_{k=1}^{m-1} ‎(-k)^\alpha ‎e^{-‎\beta ‎k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} ‎(-k)^\alpha ‎e^{-‎\beta ‎k}-\sum\limits_{k=m}^{\infty} ‎(-k)^\alpha ‎e^{-‎\beta ‎k}‎$

Reindexando la segunda suma:

$\sum\limits_{k=0}^{\infty} ‎(-k)^\alpha ‎e^{-‎\beta ‎k}-\sum\limits_{k=0}^{\infty} ‎(-k-m)^\alpha ‎e^{-‎\beta (‎k+m)}$

S puede expresarse mediante la función zeta de Lerch:

$S=(-1)^\alpha \big[L(\frac{-\beta}{2\pi i},0,-\alpha)-e^{-\beta m} L(\frac{-\beta}{2\pi i},m,-\alpha)\big]$

Por la definición de función polilogarthm tenemos que:

$L(\frac{-\beta}{2\pi i},0,-\alpha)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} ‎k^\alpha ‎e^{-‎\beta ‎k}=Li_{-\alpha}(e^{-\beta})$

Finalmente:

$S=(-1)^\alpha \big[Li_{-\alpha}(e^{-\beta})-e^{-\beta m} L(\frac{-\beta}{2\pi i},m,-\alpha)\big]$