Homeomorfismo entre el círculo unitario con punto eliminado a la recta real.

Question

La pregunta completa es: Definir un mapa $\psi:S^1\setminus\{(0,1)\}\to\mathbb{R}$ como para cada punto $p\in S^1$ tomar la línea a través de $(0,1)$ y $p$ y definir $\psi(p)$ como la intersección de esta línea con la $x$ -eje.

Así que creo que quiero $\psi$ para ser el mapa $(x,y)\to \frac{x}{1-y}$ , tomé la línea $y=\frac{y-1}{x} +1$ y encontró el $x$ valor cuando $y=0$ .

Así que ahora tengo que demostrar que $\psi$ es un homeomorfismo. Creo que después de demostrar que es biyectiva, demostrar que es continua es simplemente una cuestión de demostrar $S^1\setminus\{(0,1)\}$ está abierto en $S^1$ . Entonces utilizando que la pre imagen de los conjuntos abiertos es abierta, por lo tanto continua. Sin embargo estoy teniendo algunos problemas para demostrar que esta función es inyectiva y sobreyectiva.

Inyectiva: Supongamos que $f(x,y)=f(r,s)$ entonces $\frac{x}{1-y}=\frac{r}{1-s}$

entonces $x(1-s)-r(1-y)=0$ . De alguna manera quiero demostrar que $x\not=r$ o $y\not=s$ pero no veo cómo hacerlo. Sé que $x^2+y^2=1$ y $r^2+s^2=1$ .

Answer 1

Una pista:

$$t\overset{\varphi}\mapsto{\displaystyle \left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {t^2-1}{1+t^{2}}}\right)}$$

es la inversa de su mapa de $\mathbb{R} \to S^1\setminus\{(0,1)\}$ . Esto demostrará que su mapa inicial es inyectivo y suryente. Nótese que en $x=\infty$ obtenemos $\varphi(\infty)=(0,1)$ pero $\infty\not\in\mathbb{R}$ por supuesto.

Si quieres ver cómo se obtienen estos dos mapas, suponiendo que no lo sepas ya, sólo tienes que fijar una línea en $(0,1)$ y cambiar la pendiente para barrer $\mathbb{R}$ . Esto dará una correspondencia (bicontinua) uno a uno entre $S^1\setminus\{(0,1)\}$ y $\mathbb{R}$ siempre que la pendiente de la línea no sea paralela a la $x$ -eje. Y nunca llega a ser paralelo al $x$ -a menos que la línea sea tangente al círculo en $(0,1)$ .

Mientras tanto, ten en cuenta que sólo probando tu función $\psi$ es continua no es suficiente. También hay que demostrar que su inversa es continua. En este caso, $\varphi$ está dada por dos polinomios cuyos denominadores nunca se hacen cero. Entonces, $\varphi$ es continua en $\mathbb{R}$ .

Anexo

Más concretamente, si se pregunta cómo $\varphi$ se encuentra, primero se escribe la ecuación de la línea que pasa por $(0,1)$ con la pendiente variable $t$

$$y-1=t(x-0) \implies y=tx+1$$

Quieres ver cómo $t$ determina un punto del círculo. Por lo tanto, hay que encontrar su intersección con el círculo unitario. Por lo tanto, su punto de intersección debe satisfacer $x^2+y^2=1$ . Esto da

$$x^2+(tx+1)^2=1$$

Ahora has encontrado una ecuación que es cuadrática en $t$ . Por lo tanto, encontrarás dos soluciones. Una solución es $t=0$ que corresponde al punto $(0,1)$ donde nuestra línea se ha fijado al círculo, y la otra solución nos da el punto que buscamos.