Si$P$ es un ideal primordial de un anillo conmutativo$R$, entonces$R[x]/P[x]$ es isomorfo a$(R/P)[x]$

Question

Supongamos que tengo un anillo conmutativo $R$ con 1, y un primer ideal $P$. Luego he leído que $R[x]/P[x]$ es isomorfo a $(R/P)[x]$.

No estoy totalmente seguro de lo que cualquiera de estos dos objetos, me estoy imaginando que

$R[x]/P[x] = \{ r(x) + P[x] | r(x) \in R[x] \}$,

y $(R/P)[x]\ = \{ (r + P)[x] | r \in R \}$

pero no estoy seguro. Además no estoy seguro de lo que el mapa entre estos dos grupos deben ser de antes de probar que es un bijective homomorphism.

Además, dado que los ideales no son necesariamente subrings, es $P[x]$ incluso necesariamente definidos?

Answer 1

Considere el mapa $\theta:R[x] \to (R/P)[x]$ definido por $$ \theta:(a_0+\cdots+a_n x^n)\rightarrow (a_0 + P) + \cdots + (a_n +P)x^n.$ $ Luego, el núcleo de $\theta$ es $P[x]$ . El mapa está claramente en

Después de aplicar el primer teorema de isomorfismo se obtendrá el resultado.