Distancia a la función de límite en un disco

Question

Deje $B_1 = B(0, 1)$ denotar al abrir la unidad de disco en $\mathbb{R}^d$. Para $x \in B_1$, la "distancia a la frontera $\partial B_1$" la función se define como $$\begin{equation} d(x) = \inf_{y\in \partial B_1} \|x-y\|. \end{equation}$$ Esta definición es más general y no específica a $B_1$.

Mi pregunta es la siguiente:

En el caso especial de la unidad de disco $B_1$, es cierto (y si sí, ¿por qué) que $$\begin{equation} d(x) = 1-\|x\| \end{equation}$$ para cualquier $x \in B_1$?

Answer 1

Es verdad. Para todos $x\in B_1$ tienes $$ \|x-y\|\ge \big|\|x\|-\|y\|\big|= \big|\|x\|-1\big|=1-\|x\| \quad \text{for all $y \ en \ parcial B_1$,} y por lo tanto $$\inf_{y\in \partial B_1} \|x-y\|\ge 1-\|x\|. Por otra parte, para $x\neq 0$ tenemos $x/\|x\|\in\partial B_1$ lo que implica $$\inf_{y\in \partial B_1} \|x-y\|\le \|x-x/\|x\|\|=\big|1-1/\|x\|\big|\cdot\|x\|=1-\|x\|. Para $x=0$ el infimum se alcanza en cada punto en $\partial B_1$ .