Teorema de hiperbolización

Question

Sé que para los expertos a esta pregunta es trivial, pero ha sido un tiempo estoy teniendo problemas para entender esto...

La versión de la hyperbolization teorema he encontrado en Aschenbrenner, Friedl y Wilton del libro "3-colector de grupos" es que un compacto, orientable, irreductible 3-colector de vacío o torus límite que es la atoroidal y no homeomórficos a $\mathbb{S}^1\times \mathbb{D}$, $\mathbb{T}^2\times I$ o $\mathbb{K}^2\widetilde{\times} I$ y tiene una infinidad de grupo fundamental es hiperbólica (en el sentido de que también ha finito de volumen). (Para que quede claro, $\mathbb{S}^1$ es el círculo unidad, $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1$ es el 2-toro, $\mathbb{K}^2$ es la botella de Klein, $I = [0,1]$ e $\mathbb{K}^2\widetilde{\times} I$ es el trenzado, orientado $I$-paquete de más de $\mathbb{K}^2$, algo que yo particularmente no entiendo bien, cual podría ser la razón de que yo le pregunte a mi pregunta...)

Sin embargo, en muchos papeles a la gente a probar hyperbolicity de un pacto colector de vacío o torus límite de mostrar que no hay ninguna necesidad esferas, discos, tori y sus anillos. Sé que todas estas condiciones son necesarias para un colector para ser hiperbólica.

Aquí está mi pregunta: ¿por Qué tenemos que muestran que no hay ningún esencial anillos en el colector? Es sólo para descartar la $\mathbb{K}^2\widetilde{\times} I$ caso o me estoy perdiendo algo?

Gracias de antemano y mis disculpas si la pregunta es demasiado trivial.

Answer 1

Voy a ir a través de los esenciales de la superficie de las hipótesis que dar y mostrar la forma en que corresponden a la hipótesis de la Hyperbolization Teorema. (En resumen: esencial anillos excluir el trenzado $I$-paquete de más de la botella de Klein, así como el producto Cartesiano de un par de pantalones con $S^1$, que no es atoroidal en el sentido del libro.)

Esencial esferas corresponden directamente a $M$ no ser irreductible, así que no hay mucho que decir aquí. Debido a que usted menciona es necesario y no solo las condiciones suficientes, voy a decir esto: La muerte de Hopf-teorema implica que (el interior) de una hiperbólica $3$-colector tiene una cobertura universal $\mathbb{H}^3$. Desde el espacio hiperbólico es irreducible, entonces también lo son hiperbólicos de los colectores.

Si hubo un elemento esencial de disco $D$, se podría encontrar algunos toro límite de la componente a lo largo de una separación o nonseparating bucle. Si nonseparating, la esfera límite de $M-\nu(D)$ se puede empujar un poco para dar a $S^1\times D^2$ como conectar sumando, y primalidad implicaría $M=S^1\times D^2$, que es excluida por la hipótesis. De lo contrario, si la separación, los límites de un disco en el límite, por lo que el disco y $D$ formar una $S^2$ que debe enlazado una bola con la irreductibilidad de $M$, por lo tanto no hay ningún tipo de discos.

Excluyendo esencial tori es ya parte de la hipótesis de la Hyperbolization Teorema. (Sin embargo: atoroidal significa algo un poco diferente en ese libro, que cualquier mapa de $T^2\to M$ es $\pi_1$-inyectiva es homotópica a un mapa de $T^2\to \partial M$. Dicho esto, es más fuerte que la definición que incrustado incompresible tori son de los límites de las paralelas).

Si hubo un elemento esencial del anillo de $A$, a continuación, se reúne un par de componentes del borde o un único límite de componente. Si se tratara de un par de componentes del borde, luego están los casos dependiendo de si cada límite de $A$ es la separación o el nonseparating en el respectivo límite de componente. Si bien es separar, entonces el disco correspondiente, empujado en $M$ un poco, se puede comprimir $A$, contrario a $A$ siendo esencial. Si ambos son nonseparating, haciendo una similar pushoff de los límites de la $M-\nu(A)$, obtenemos un toro embebido $T$. Si $T$ fueron compresible, una compresión de disco tendría que ser en el lado opuesto de la frontera componentes ya que el toro es $\pi_1$-inyectiva en el límite lateral. La compresión a lo largo de ese disco le da un embedded esfera, que por la irreductibilidad de los límites de una pelota, por lo tanto $T$ límites de un sólido toro. Con $X$ siendo tres veces perforado esfera (un par de pantalones), $M$ puede ser identificado como $X\times S^1$ con una sólida toro pegado. La forma en la que el meridiano de disco sólido con el toro está pegado en está en correspondencia con un número racional: $a/b$ indica la pendiente que es $b$ veces alrededor de la $S^1$ dirección de e $a$ veces alrededor de la $\partial X$ dirección, así por ejemplo la forma pendiente-$0$ es el disco pegado a lo largo de una $S^1$ la fibra y de la pendiente-$(1/0)$ es a lo largo de una $\partial X$ componente. La pendiente-$0$ encolado es $S^3$ menos de una fracción de desvincular, por lo que no es irreducible. La pendiente-$(1/0)$-encolado es $T^2\times I$, que es un excluidos caso. Encolado con cualquier otro pendiente es un Seifert-fibrado espacio, y uno puede comprobar que este espacio no es atoroidal en el libro del sentido (esencialmente por la misma razón $X\times S^1$ no es atoroidal, ver más abajo). Por otro lado, si $T$ fueron incompresible, deberá vinculado a un sólido toro (ya se manejan) o de los límites de las paralelas. A continuación, $M$ puede ser identificado como $X\times S^1$, que no es atoroidal en el libro del sentido, como se explica a continuación.

Ahora hemos de considerar si $\partial A$ es en un solo límite de componente $T$. De nuevo ambas curvas de $\partial A$ son no-separación. Mediante el uso de nuestro conocimiento de curvas simples en el toro, sabemos que ellos deben ser paralelas. Dos casos: o bien las curvas tienen la misma inducida por la orientación, o la opuesta. En el caso de enfrente inducida por la orientación, a continuación, considerando los dos anillos en el límite, se obtienen dos tori mediante la combinación de cada uno de forma individual con $A$, que luego empuje un poco de los límites y de lejos el uno del otro, de modo que no se intersectan. Ni los límites de un sólido toro desde $A$ es esencial, por lo tanto son límite en paralelo. Tampoco es paralelo a $T$ ya que implicaría $A$ no es esencial, por lo tanto $M$ es $X\times S^1$ para $X$ cerrado dos veces-perforado de disco (un par de pantalones). Mientras que esto no tiene ninguna necesidad de tori, no es atoroidal en el sentido del libro: tomar una inmerso bucle en $X$ que va alrededor de los puntos en direcciones opuestas y se cruza con $S^1$ obtener un mapa $T^2\to X\times S^1$ es $\pi_1$-inyectiva pero no es homotópica a la frontera, ya que cualquier homotopy daría un homotopy para el bucle en $X$. (En el arXiv versión de el libro, se nota que el tener tres el total de componentes del borde y el cono de puntos es cuando las definiciones divergentes. Voy a tener que comprobar si este es un "pequeño Seifert-fibrado espacio," que no debería ser, ya que es Haken. Edit: Esto ha sido aclarado en esta pregunta.)

Por último, $A$ cumple con el límite de componente $T$ en las curvas de la misma orientación, lo cual es difícil de imaginar en su totalidad, así que aquí es un intento en una imagen:

Esta es una sección donde la parte delantera y trasera están destinados a ser identificado. Tomando $A$ con el anillo en $T-\partial A$ como antes y lo empuja, obtenemos una botella Klein $K$. El regular vecindario $\nu(K)$, desde el $K$ es no orientable en un orientable colector, es el trenzado $I$ paquete de más de $K$, e $\partial\nu(K)$ es el orientado a la doble cubierta, que es un toro. El $\nu(K)$ lado $\partial\nu(K)$ no es, ciertamente, un sólido toro (desde $\pi_1(K)\neq\mathbb{Z}$), y el otro lado no es un sólido toro porque contiene $T$. Desde $M$ es atoroidal, $M=\nu(K)$, que es uno de los casos excluidos.