Plegado de papel y fracciones continuas

Question

Esta pregunta es sugerida por un pregunta previa que no ha recibido una respuesta completa. Una esquina de una hoja de papel rectangular $P_1$ se dobla hacia abajo para hacer un trapecio, y luego se corta un triángulo rectángulo para hacer otro rectángulo $P_2.$ El proceso se repite con $P_2$ para producir un rectángulo $P_3$ y así sucesivamente. Suponemos que la relación de los lados de $P_1$ es irracional, por lo que ninguno de los rectángulos es un cuadrado, y el proceso es eterno.

Dejemos que $S_n$ sea el área de $P_n$ y supongamos $$\lim_{n\to\infty}{S_{n+2}\over S_n}$$ existe. Cuáles son los posibles valores del límite.

En la pregunta original, el OP afirmaba que creía que, para que el límite existiera, debía darse el caso de que $P_n$ y $P_{n+2}$ son similares, para grandes $n,$ pero que no podía probarlo.

En una respuesta parcial, he corregido algunos errores de cálculo, y he señalado la relación del problema con las fracciones continuas, pero tampoco he podido demostrar la hipótesis del OP, aunque creo que es muy probable que sea cierta.

¿Puede demostrar que $P_n$ y $P_{n+2}$ ¿al final debe ser similar? Alternativamente, ¿puede ver cómo modificar el análisis para no utilizar esta hipótesis?

Answer 1

Hay otro límite posible $\color{blue}{3-2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{-2}}$ . ¿Cómo?

Supongamos que el rectángulo $n$ tiene una longitud $a$ y la anchura $b$ con $a>2b$ . Entonces para llegar al rectángulo $n+2$ se acorta el $a$ dos veces, dejando un rectángulo con dimensiones $a-2b$ y $b$ . Si

$\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{b}{a}$

entonces los rectángulos son similares forzando un valor fijo de $S_{n+2}/S_n$ . Nótese que el rectángulo intermedio no sería similar por lo que no tendríamos $S_{n+1}/S_n=\sqrt{S_{n+2}/S_n}$ .

La ecuación anterior para $a$ y $b$ se resuelve para una raíz positiva $a/b=1+\sqrt{2}>2$ . Así,

$\dfrac{S_{n+2}}{S_n}=\dfrac{a-2b}{a}=3-2\sqrt{2}$ .

Con $a/b=1+\sqrt{2}>2$ se puede comprobar que también

$\dfrac{S_{n+3}}{S_{n+1}}=3-2\sqrt{2}$ .

Answer 2

A continuación se exponen algunas consideraciones que pueden ser de ayuda.

Comenzamos con un rectángulo de lados $a_0 \le b_0$ y después de ${\left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor }$ cortes llegamos a un rectángulo de lados $$ \left\{ {\matrix{ {a_{\,0} \left\{ {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\} = b_{\,0} \bmod a_{\,0} } & \to & {a_{\,1} } \cr {a_{\,0} } & \to & {b_{\,1} } \cr } } \right.\;\; $$

La relación de los lados procede como $$ \bbox[lightyellow] { \eqalign{ & {{a_{\,0} } \over {b_{\,0} }} = {1 \over {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}}} = {1 \over {\left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor + \left\{ {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\}}} = \cr & = {1 \over {\left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor + {{b_{\,0} \bmod a_{\,0} } \over {a_{\,0} }}}} = \cr & = {1 \over {\left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor + {{a_{\,1} } \over {b_{\,1} }}}} = {1 \over {\left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor + {1 \over \ddots }}} = \cdots \cr} }\tag {1}$$ que es, de hecho, el desarrollo continuado de la fracción $a_0 / b_0$ cuyos términos provienen de los pasos progresivos del Algoritmo Euclidiano para $gcd(a_0,b_0)$ .

La secuencia de las áreas procede como sigue $$ \bbox[lightyellow] { \eqalign{ & S_{\,0} = a_{\,0} \,b_{\,0} = a_{\,0} ^{\,2} \left( {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right)=A_{\,0} \cr & S_{\,1} = a_{\,0} \,\left( {b_{\,0} - a_{\,0} } \right) = a_{\,0} ^{\,2} \,\left( {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }} - 1} \right) \cr & \quad \vdots \cr & S_{\,\left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor } = a_{\,0} ^{\,2} \,\left( {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }} - \left\lfloor {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\rfloor } \right) = a_{\,0} ^{\,2} \,\left\{ {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}} \right\} = a_{\,1} b_{\,1} =A_{\,1} \cr & \quad \vdots \cr & S_{\,n} = a_{\,m} ^{\,2} \left( {{{b_{\,m} } \over {a_{\,m} }} - q} \right)\quad \left| \matrix{ \;\sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,m - 1} {\left\lfloor {{{b_{\,k} } \over {a_{\,k} }}} \right\rfloor } \le n < \sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,m} {\left\lfloor {{{b_{\,k} } \over {a_{\,k} }}} \right\rfloor } \hfill \cr \;0 \le n - \sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,m - 1} {\left\lfloor {{{b_{\,k} } \over {a_{\,k} }}} \right\rfloor } = q < \left\lfloor {{{b_{\,m} } \over {a_{\,\,m} }}} \right\rfloor \hfill \cr} \right. \cr} }\tag {2}$$ donde el significado de la $A_n$ son evidentes.

Podemos decir que el $Sn$ están interpolando el $A_m$ .

Si tomamos $a_0=1,\;b_0=\varphi$ (proporción áurea), obtenemos $$ \eqalign{ & {1 \over {{{b_{\,0} } \over {a_{\,0} }}}} = {{\rm 1} \over \varphi } = {{\rm 1} \over {1 + \left( {\varphi - 1} \right)}} = {{\rm 1} \over {1 + {1 \over \varphi }}}\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ b_{\,m} = \varphi ^{\,1 - \,m} \hfill \cr a_{\,m} = \varphi ^{\, - \,m} \hfill \cr n = m\quad q = 0 \hfill \cr S_{\,n} = a_{\,n} \,b_{\,n} = \varphi ^{\,2 - 2\,n} \hfill \cr} \right. \cr & {{S_{\,n + 2} } \over {S_{\,n} }} = \varphi ^{\, - \,4} \cr} $$

Pero, aparte de la proporción áurea anterior, el algoritmo euclidiano no es en general suave, y por lo tanto es difícil captar el límite de la proporción deseada (hasta donde yo sé).

De hecho, si tomamos por ejemplo $(1,\pi)$ como rectángulo inicial, se sabe que el los términos de la CF correspondiente no tienen ningún patrón regular.
Para nuestro problema eso significa que la relación lateral $\left\lfloor {{{b_{\,n} } \over {a_{\,n} }}} \right\rfloor $ (y por lo tanto la propia relación) es variable imprevisiblemente . Y impredecible también será el límite de la relación de área.
Eso es comprensible en el modelo, ya que muchas veces llegamos muy cerca de un racional rectángulo, después de lo cual nos queda una franja muy fina y larga, que tiene un anormalmente área baja con respecto a la hoja madre.

Answer 3

Sea la longitud del rectángulo L y la anchura d, tenemos:

$S_1=L.d$

$S_2=(L-d)d$

$S_3=(L-d-d)d=(L-2d)d$ .

.

.

$S_n=[L-(n-1)d]$

Claramente $S-n→0$ cuando $n→∞$ y siempre tenemos $S_n<S_{n-2}$ y podemos escribir:

$\frac{S_{n+2}}{S_n}<1$

Sin embargo, utilizando la regla de Hopital tenemos:

$Lim_{n→∞}\frac{S_{n+2}}{S_n}=Lim_{n→∞}\frac{L-(n+1)d}{L-(n-1)d}=1$

Así que todo lo que podemos decir es $0<L<1$ . Es mejor encontrar:

$Lim_{n→∞}\frac{\Sigma^{n+2}_{i=1} S _i}{\Sigma^n_{i=1} S_i}$ .