¿Es cada subgrupo normal el núcleo de algún auto-homomorfismo?

Question

Deje $G$ ser un grupo. Si hay un homomorphism $f:G\to G$ (caso especial de la codominio ser arbitrario grupo), luego el kernel $f^{-1}(id)$ es un subgrupo normal de $G$.

Pero ahora al revés: inicia con la existencia de un subgrupo normal $H$ de $G$. Hay necesariamente un homomorphism $f:G\to G$ tal que el núcleo de $f$ es $H$?

Answer 1

Eso es falso.

Si $G=\mathbb{Z}$ cualquier homomorphism $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ toma la forma $f(a)=ma$ para algunos $m\in\mathbb{Z}$. Claramente el núcleo es trivial (a menos $m=0$ el kernel lo es todo). Sin embargo, para todos los $n\in\mathbb{N}$ tenemos que $n\mathbb{Z}$ es un subgrupo normal de $\mathbb{Z}$. En particular, $2\mathbb{Z}$ no es un núcleo de cualquier homomorphim de $\mathbb{Z}$ a sí mismo.

Sin embargo, es posible para "corregir" esta declaración. Si sólo se solicita un homomorphism de $G$ a algún otro grupo. Dado normal de cualquier subgrupo $H$, el cociente homomorphism $f:G\rightarrow G/H$ que envía a $g\mapsto g+H$ ha $H$ como es el kernel. En otras palabras, cada subgrupo normal es un núcleo de algunos homomorphism, no necesariamente de $G$ a sí mismo.