Encuentra$f$ tal que$f(a-b)+f(c-d)=f(a)+f(b+c)+f(d)$

Question

Denota el conjunto de no-negativos de los números reales por $\mathbb R^+_0$. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R_0^+$ s.t. $\forall a,b,c,d\in\mathbb R$ satisfacción $ab+bc+cd=0$ tenemos $$f(a-b)+f(c-d)=f(a)+f(b+c)+f(d)$$

Mi intento:

set $b=d=0$ y consigue $f(0)=0$.

Ahora establezca $a=b=c=0$ conseguir $f(-d)=f(d)$.

Ahora estamos bastante reducido esta fe del dominio a $\mathbb R^+_0\rightarrow\mathbb R^+_0$.

Que es donde me quedé atrapado. He intentado un par de cosas, pero ninguno de ellos me dio ningún progreso. Cualquier ayuda/sugerencias apreciado.

Answer 1

Deje $c \neq 0$. Para quitar nuestra condición, escribimos $d$ en términos de que el resto de las variables : $$d=\frac{-ab-bc}{c}=-b-\frac{ab}{c}$$ Ahora, podemos sustituir esta en nuestra funcional de la ecuación : $$f(a-b)+f(b+c+\frac{ab}{c})=f(a)+f(b+c)+f(-b-\frac{ab}{c})$$ Para $c=-b$, tenemos : $$f(a-b)+f(-a)=f(a)+f(0)+f(a-b) \implies f(0)=f(-a)-f(a)$$ La sustitución de $a$ por $-a$: $$f(0)=f(a)-f(-a) \implies f(0)=0 \implies f(a)=f(-a) \space \forall \space a \in \mathbb{R}$$ Siguiente, para $a=b=c$: $$f(0)+f(3a)=f(2a)+f(2a)+f(a) \implies f(3a)=2f(2a)+f(a) \space \forall \space a \in \mathbb{R}$$ Para $b=-nc=-na$: $$f((n+1)a)+f((2n-1)a)=f(a)+f((n-1)a)+f(2na)$$ En $n=2$, esto produce: $$f(4a)=2f(3a)-2f(a)=4f(2a) \implies f(2a)=4f(a) \space; f(3a)=9f(a)\space; f(4a)=16f(a)$$ Para todos los naturales de $n \leqslant 4$, podemos ver que $f(na)=n^2 \cdot f(a)$. Continuamos con la hipótesis de inducción. Deje $f(na)=n^2 \cdot f(a) \space \forall \space n<2n-1$. Podemos ver $f(2na)=4f(na)$. Observar la ecuación: $$f((n+1)a)+f((2n-1)a)=f(a)+f((n-1)a)+4f(na)$$ Todos los coeficientes de $a$ dentro de la función es menor o igual a $2n-1$, y podemos resolver esta ecuación para $f((2n-1)a)$ para el rendimiento de una solución en términos de $f(a)$. Podemos ver que en nuestra funcional de la ecuación, $f(ta)=t^2 \cdot f(a)$ satisface nuestra condición. Puesto que sólo hay una solución en términos de $f(a)$, debe ser $f(2n-1)=(2n-1)^2 \cdot f(a)$. Por lo tanto, la inducción de la hipótesis de los rendimientos de nosotros la ecuación de $f(na)=n^2 \cdot f(a) \space \forall \space n \in \mathbb{N}$

Si $f$ es continua, llegamos a la conclusión de que la única solución a esta ecuación funcional es $f(x)=kx^2$ para algún número real $x \geqslant 0$. Si no, $k$ puede variar (o no) para linealmente independientes $n$. Me doy cuenta de cómo abordar esta parte del problema.