¿Qué significa "simple" significa? Menos términos? Pequeños Coeficientes? Menor argumentos?
La identidad que usted escribió es fácil de comprobar con el hecho de que
$$4 \arctan(n) = \log(1 + n i)^2 + \log(1 - n i )^2 - 2 \log(1 + n i) \log(1 - ni).$$
Con el fin de encontrar identidades, usted desea considerar una colección de $n$ tal que los enteros de Gauss $1 \pm n i$ todos tienen una colección fija de Gauss primer divisores, o, equivalentemente, $n^2 + 1$ tiene un pequeño número de factores primos. Por ejemplo, todos los argumentos en su fórmula ha $n^2 + 1$ divisible sólo por los números primos $2$, $5$, $13$, $17$. La colección completa de los números enteros con esta propiedad es
$$1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 13, 18, 21, 38, 47, 57, 239, 268.$$
Ignorando el término $1$ (no estoy seguro de por qué usted quiere ignorar esto), el espacio de los valores de $\arctan(n)^2$ de la $14$ valores de $n$ genera un espacio vectorial sobre $\mathbf{Q}$ de la dimensión en la mayoría de las $10$, por lo que cualquier $11$ términos son linealmente dependientes sobre el campo $\mathbf{Q}$.
Para demostrar la dimensión es en leat $10$ requeriría varios algebraica de la independencia de los resultados de los logaritmos que probablemente no se sabe, el punto es que uno tiene cuadrática términos de logaritmos que están más allá de la habitual de la trascendencia de los resultados.
Supongamos que usted busca $n$ , de modo que $n^2 + 1$ es solo divisible por los números primos $2$, $5$, e $13$. Entonces la única $n$ son
$$1, 2, 3, 5, 7, 8, 18, 57, 239.$$
Ignorando $1$hay $8$ números, que generan un espacio vectorial de dimensión en la mayoría de las $7$, por lo que cualquier $8$ términos de dar una relación lineal. El uno con el más pequeño de los coeficientes es probablemente dado por tomar todas las $9$ términos, a saber,
$$21 \arctan(5)^2 + 34 \arctan(7)^2 + 5 \arctan(8)^2 = 75 \arctan(2)^2 + \arctan(3)^2 + 5 \arctan(18)^2 + 5 \arctan(57)^2 + \arctan(239)^2.$$
Por supuesto, la aparición de $239$ no será una gran sorpresa para arctan fans.
Así que sin duda hay identidades con los más pequeños y los coeficientes de un menor número de términos. Es probable que no identica donde los exponentes son más pequeños de lo $47$, sin embargo, debido a que no hay suficiente cancelación en los términos de los factores de $n^2 + 1$.
En cuanto a si hay infinitamente muchas identidades, que es un poco pegajoso. Si se fija un conjunto de números primos $S$ (necesariamente en este caso de la forma $2$ o $1 \pmod 4$), entonces hay sólo un número finito de enteros $n$ tal que $n^2 + 1$ es solo divisible por los números primos en $S$ (un no-trivial, pero el estándar de la teoría de los números del ejercicio). Sin embargo, es bastante claro exactamente cuántos debe haber. Por ejemplo, si incluye la siguiente prime $29$ así, entonces usted parece conseguir
$$2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 21, 38, 41, 47, 57, 70, 99, 157, 239, 268, 307$$
Hay nuevas relaciones aquí, el más sencillo encontrar la liga de la leche de inflexión para tener todos los coeficientes de bajo $10$, es decir,
$$\sum a_i \log(b_i)^2 = 0,$$ where $(a_i)$ and $(b_i de dólares) están dados por
$$\{-9, -8, 1, -3, -8, -1, 2, 3, -4, 1, -2, 3, -3, -1, 7, 7, -7, 7, 7, 0, 0\},$$
$$\{2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 21, 38, 41, 47, 57, 70, 99, 157, 239, 268, 307\}.$$
respectivamente.
Sospecho que probablemente hay infinitamente muchas más relaciones, pero que la prueba dependerá de sutiles (y probablemente abierto) número de problemas teóricos en relación con el número de enteros de la forma $n^2 + 1$ con restricciones de factores primos.
