Demuestra que la siguiente secuencia converge. Por favor critica mi prueba.

Question

El problema es el siguiente:

Deje $\{a_n\}$ ser una secuencia de números no negativos tales que $$ a_{n+1}\leq a_n+\frac{(-1)^n}{n}. $$ Mostrar que $a_n$ converge.

Mi (mal) prueba:

Observe que $$ |a_{n+1}-a_n|\leq \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|\leq\frac{1}{n} $$ y ya se sabe que $\frac{1}{n}\rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$. Vemos que podemos arbitarily obligado, $|a_{n+1}-a_n|$. Por lo tanto, $a_n$ converge.

Mi pregunta: Esta es una pregunta de un examen completo que he encontrado y estoy usando para su revisión.

Debo argumentar que debemos seleccionar $N$ , de modo que $n>N$ implica $\left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon$ así?

Notas: en la Actualidad trabajo en la prueba.

Answer 1

Considere la posibilidad de $b_n = a_n + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$. Entonces

$$ b_{n+1} = a_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \leq a_n + \frac{(-1)^n}{n} + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = b_n, $$

lo que muestra que $(b_n)$ es no creciente. Por otra parte, desde la $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ converge por la alternancia de serie de la prueba y $(a_n)$ es no negativo, se deduce que el $(b_n)$ está delimitada desde abajo. Por lo tanto, $(b_n)$ converge, y así, $(a_n)$ converge así.

Answer 2

Definir $b_k := a_{2k+1}$. Entonces $$b_k \leq a_{2k} + (-1)^{2k}\frac{1}{2k} \leq b_{k-1} + (\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k-1}) \leq b_{k-1}$$ Desde $b_k$ es no negativo y no creciente: $b_k \to b$. Supongamos $a_n \nrightarrow b$. Entonces existe un $\varepsilon > 0 $ s.t. para una infinidad de $n$ tiene $|a_{2n} - b| > \varepsilon$. Suponga que $|a_{2m+1}-a_m| > \frac{\varepsilon}{2}$ para infinidad de $m$. Entonces, desde el $a_{2m+1}- a_m \leq \frac{1}{2m}$ tenemos que \begin{align} a_{2m+1} - a_m < - \frac{\varepsilon}{2} \end{align} para una infinidad de $m$. Deje $M := \{m \geq 1 : a_{2m+1} - a_m < - \frac{\varepsilon}{2} \text{ is fulfilled for } m \}$ \begin{align*} d_m := 1_M (m) \end{align*} Esto implica \begin{align*} 0 \leq a_{2m+1} = a_1 + \sum_{k=1}^{2m} (a_{k+1} - a_k ) = a_1 + \sum_{k=1}^m (a_{2k+1} - a_{2k}) + \sum_{k=1}^m (a_{2k} - {a_{2k-1}}) \\ \leq a_1 + \sum_{k=1}^m (-1)^{2k} \frac{1}{2k}- \frac{\varepsilon}{2} d_k + \sum_{k=1}^m (-1)^{2k-1}\frac{1}{2k-1} \to a_1 - \sum_{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2} d_k + \sum_{i=1}^\infty (-1)^i \frac{1}{i} = - \infty \end{align*} desde $|M| = \infty$ y la última de la serie converge. Esta es una contradicción. Por lo tanto, tenemos que existe $K\geq 1$ s.t. para todos los $k\geq K$ tiene: $|a_{2k+1} - a_k| \leq \frac{\varepsilon}{2}$. Podemos concluir que \begin{align*} |a{2n+1} - b| \geq |a_{2n} - b| - |a_{2n+1} - a_n| \geq \varepsilon - \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\varepsilon}{2} \end{align*} infinitamente $n \geq K$. Contradicción. Por lo tanto $a_n \to b$.