La definición de $c := \cos\theta$ e $s := \sin\theta$, podemos escribir
$$c^2\sqrt{5} = s\left(3 \sqrt{2} + c\sqrt{5}\right) \tag{1}$$
El cuadrado, la re-escritura de la $s^2 = 1-c^2$, y re-organización,
$$10 c^4 + 6 c^3 \sqrt{10} + 13 c^2 - 6c \sqrt{10} - 18 = 0 \tag{2}$$
En este punto, si hemos tenido la presencia de ánimo para identificar a $10$ como $\sqrt{10}^2$ e $13$ como $-27 + 4\sqrt{10}^2$, entonces (definición de la $r:=\sqrt{10}$) que podría reunir las condiciones y el factor de
$$\begin{align}
0 &= r^2 c^4 +\left(-3r + 9 r\right)c^3 + (-27+4r^2)c^2 +(-12r+ 6r)c - 18 \\[4pt]
&= \left(r^2 c^4 - 3rc^3\right) + \left(9 rc^3 -27c^2\right)+\left(4r^2c^2 -12rc\right)+ \left(6rc - 18\right)\\[4pt]
&= \left(r c - 3 \right) \left( rc^3 + 9 c^2 +4 r c + 6 \right) \tag{3}
\end{align}$$
(Es decir, se han incluido más de $\mathbb{Q}\left[\sqrt{10}\right]$.) El primer factor de los rendimientos de la raíz de destino, $\cos\theta = 3/\sqrt{10}$. (Tenga en cuenta que el segundo factor, obviamente, no tiene soluciones positivas.)
Sin esa intuición, pero con la sospecha de que la $\sqrt{10}$s impedían el progreso de una razonable solución agradable, podríamos escribir $(2)$como
$$10 c^4 + 13 c^2-18 = 6c\sqrt{10}\left(1-c^2\right) \tag{4}$$
Ahora, el cuadrado de eliminar los molestos $\sqrt{10}$, y hemos
$$100 c^8 - 100 c^6 + 529 c^4 - 828 c^2 + 324 = 0 \tag{5}$$
A partir de aquí, a la vieja usanza factoring da
$$\left(10 c^2 - 9\right) (10 c^6 - c^4 + 52c^2 -36 ) = 0\tag{6}$$
De nuevo, el primer factor da la raíz de destino, $\cos\theta=3/\sqrt{10}$ (así como un recién introducido extraños raíz, $\cos\theta=-3/\sqrt{10}$). No está claro que el segundo factor no tiene validez raíces; de hecho, Mathematica da la solución positiva de $\cos\theta = 0.80501\ldots$ (en medio de otro modo negativo o no real de los candidatos), pero se puede comprobar que no satisfacen $(1)$.
