"Continuized" Taylor Series? $\sin(x)=\sum \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=\int_{-1}^\infty \frac{\cos(\pi n) x^{2n+1}}{G(2n+1)}dn$?

Question

~~no tratando de reinventar la transformada de Laplace, pero sólo una exploración de estas series e integrales~~ por favor, deje cualquier pensamiento, cualquier pensamiento de ningún tipo, no importa cuán pequeño, que tiene en esta pregunta como una respuesta o un comentario

La Serie de Taylor para $e^x$ es $$\sum \frac{x^n}{n!}$$ Ahora no se trata simplemente de una discreta suma de funciones? Lo que si puedo usar las integrales para hacer un "continuo" de la versión de la serie de Taylor? Siguiendo esa motivación, se me ocurrió $$E(x)=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^n}{G(n)}dn$$ donde $G(n)=\Gamma(n+1)=n!$. Desde $\frac{x^n}{G(n)}$ va a cero, como se $n\to -1$, la integral se convierte solo en $$E(x)=\int_{-1}^\infty \frac{x^n}{G(n)}dn$$ Yo graficados en Desmo y se veía como este, con la línea de puntos verdes se $E(x)$:

Después de eso, yo estaba como "wow, que bonito! Me pregunto si otras funciones de trabajar demasiado". Naturalmente, me mudé a $\sin(x)$, que tiene el poder de la serie $$\sum \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Por desgracia, este poder de la serie es más complicada debido a las $(-1)^n$ plazo. El primer pensamiento que se me ocurrió es que $\cos(\pi n)$ podría ser el continuo de la versión de ese término. Así, uno de esos "continuized" versión de la serie de Taylor para $\sin x$ sería $$S(x)=\int_{-1}^\infty \frac{\cos(\pi n) x^{2n+1}}{G(2n+1)}dn$$ Por supuesto, eso es algo arbitrario, así que hice uso de otras dos funciones: $$c_1(x)=\cos^6\left(\frac{\pi x}{2}\right)-\sin^6\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$ que es más "triangular", y $$c_2(x)=2\left(1-\sin^6\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)^6-1$$ que es más "cuadrado". Usted puede ver todas las tres de estas funciones en naranja. He hecho tres integrales con cada una de las tres funciones, con la línea punteada de color verde con el con $\cos(\pi x)$. He tenido que multiplicar por un factor de $2$ para obtener el derecho, es bastante interesante. En ambos integrales, hice el límite inferior un poco más alto para evitar estrellarse mi equipo y la mayor enlazado lo suficientemente bajo como para hacer poca o ninguna diferencia.

(disponible aquí: https://www.desmos.com/calculator/eesis3ykai, aunque puede tardar un poco en cargar)

El primero ya ha sido abordado aquí: La función de $f(x) = \int_0^\infty \frac{x^t}{\Gamma(t+1)} \, dt$, así que mi única contribución es el bonito gráfico. Sin embargo, el $\sin x$ e $\cos x$ que he encontrado mucho más fascinante. Por lo tanto, tengo un par de preguntas:

(1) no $S(x)$ realidad convergen a $\sin(x)$?

(2) podemos esperar de este "integral-series de Taylor de" trabajar en un montón de otras funciones? ¿Hay algún resultado general?

(3) ¿por qué se $\cos(\pi x)$ trabajo mejor en comparación con el triángulo y el cuadrado de las ondas? ¿Por qué la onda rectangular fallar tan mal?

(4) ¿por qué la integral tiene que ser extendido por un factor de dos, cuando el $e^x$ integral no tiene que ser?

(5) esta aproximación para estas funciones útiles? Puede este método a ser aplicado en otros lugares? Es allí cualquier uso fuera sólo "ooh mira este limpio gráfico"?

Más cosas interesantes: yo hice lo mismo con $\cos x$, y obtuve resultados similares (los límites obtener cambiado un poco): $$C(x)=\int_{-0.5}^\infty \frac{\cos(\pi n) x^{2n}}{G(2n)}dn$$ (que es accesible aquí: https://www.desmos.com/calculator/ctjqdxuw0h)

que también tiene la extraña factor multiplicativo de a$2$, y la peculiar favorabilidad a $(-1)^n \approx \cos(\pi n)$. Para mi por encima de 5 preguntas siguen en pie.

Edit: lo de transformadas de Laplace es en realidad la fuente de inspiración para mi trabajo. Sin embargo, en su estado actual, no veo la conexión entre el $E(x)$ o $S(x)$ y la transformada de Laplace que voy a usar en el dif eq. Por lo tanto, me siento como ese comentario no es una buena respuesta, y quisiera algunas ideas sobre mis 5 preguntas o conexión explícita entre ellos y transformadas de Laplace. Cualquier nueva idea o sugerencia sería muy apreciada. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial a algunas de las preguntas.

En este libro, página 217 (ver también este hilo), se estableció que $$ f(z)=\int_0^\infty\frac{z^tdt}{\Gamma(t+1)} = e^z+O(|z|^{-N}), $$ para cualquier entero $N$. Poner a $z=\pm ix$, y restando, obtenemos $$ f(ix)-f(-ix)=2i\int_0^\infty\frac{\sin(\frac\pi2t)x^tdt}{\Gamma(t+1)} = 2i\sin x+O(|x|^{-N}), $$ o $$ S(x)=\int_0^\infty\frac{\sin(\frac\pi2t)x^tdt}{\Gamma(t+1)} = \sin x+O(|x|^{-N}). $$ A continuación, la sustitución de $t=2s+1$rendimientos $$ S(x)=2\int_0^\infty\frac{\cos(\pi s)x^{2s+1}ds}{\Gamma(2s+2)} = \sin x+O(|x|^{-N}). $$ Esta es su fórmula hasta el cambio de la integral del límite inferior de $-1$ a $0$. Contesta a las 4 de la Pregunta y la Pregunta 1 (en un sentido asintótico), y le da un fuerte apoyo a la hipótesis de la Pregunta 3.

Una razón intuitiva detrás de un factor de 2 en la Pregunta 4 es que mientras que el factor de $\frac{x^{2s+1}}{\Gamma(2s+2)}$ en el integrando se comporta ligeramente como una función de la $s$, el otro factor $\cos(\pi s)$ es oscilatorio con el promedio de la magnitud de $\frac12$. Por otro lado, la serie de Taylor podría ser aproximada por la misma integral con $\cos(\pi s)$ reemplazado por un tren de pulsos rectangulares con amplitud $\pm1$, y por lo tanto con el promedio de la magnitud de $1$.

Answer 2

En ninguno de los casos que han puesto hasta existe una igualdad perfecta. Las funciones se definen son sólo aproximadamente la misma que la correspondiente serie infinita (es fácil para probar esto, sólo tienes que seleccionar un solo valor para $x$, evaluar numéricamente y comparar con el resultado esperado). Voy a tratar de explicar por qué esta aproximación funciona (el cual va a responder algunas de sus preguntas). Cualquier integral se puede escribir como una suma

$$\int_0^\infty f(n){\rm d}n = \sum_{n=0}^\infty g(n)~~~\text{where}~~~g(n) \equiv \int_n^{n+1}f(n'){\rm d}n'$$ Si $f$ no cambia muy rápidamente a lo largo de $[n,n+1]$ entonces habremos $g(n)\approx f(n)$ así que terminamos con $$\int_0^\infty f(n){\rm d}n \approx \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ que es lo que están viendo en sus ejemplos.

Esta aproximación suele dar mejores resultados si $f(n)$ es monótona (ya que se puede controlar más fácilmente el error en estos casos) y es probable que produzca resultados peores si es oscilatorio (no tiene que ser una relación clara entre la $g(n)$ e $f(n)$ o $f(n+1)$).

Todo lo que he escrito arriba es muy duro, pero se puede ser más precisa. Por ejemplo, si $f(x)$ es monótona decreciente, a continuación, (esta es la base para la integral de la prueba de convergencia) $$0 \leq \int_0^\infty f(n){\rm d}n - \sum_{n=0}^\infty f(n) < f(0)$$ y también tenemos una fórmula explícita, la de Abel–Plana de la fórmula, en relación con una suma y la integral (gracias J. M. por recordarme de esto) $$\sum_{n=0}^\infty f(n) - \int_0^\infty f(n)\,{\rm d}n = \frac{1}{2}f(0) + i\int_0^\infty\frac{f(it) - f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,{\rm d}t$$