Cuándo usar$y = \frac{1 + x}{1 - x}$ al evaluar integrales definidas

Question

Cuando la evaluación de las integrales definida e indefinida, hay veces en que el integrando se presenta a sí mismo para ser resueltos utilizando un método definitivo: una transformación, sustitución, series, etc.

Por ejemplo, el método general para las integrales que involucran funciones racionales de las funciones trigonométricas es emplear la Weirerstrauss de Sustitución.

Ahora, en este sitio web, principalmente se centran principalmente en las integrales y he observado que la sustitución de $y = \frac{1 + x}{1 - x}$ es utilizado cuando los límites de una integral definida, se $0,1$. Es esto parte de un método generalizado? y si es así, ¿tiene nombre?

Y si no, es posible obtener algunos ejemplos de integrales donde este método es favorable.

Answer 1

\begin{align}\phi(x)=\frac{1-x}{1+x}\end{align}

1) Como ya se señaló $\phi\left([0;1]\right)=[0;1]$

2) el cambio de variable $y=\phi(x)$ conserva:

\begin{align}&\frac{dx}{1+x^2}\\ &\frac{dx}{1+x} \end{align}

3) \begin{align}1+\phi(x)&=\frac{2}{1+x}\\ 1-\phi(x)&=\frac{2x}{1+x}\\ 1+(\phi(x))^2&=\frac{2(1+x^2)}{(1+x)^2}\\ \end{align}

Observar que $1+x,1-x,1+x^2,1-x^2,x$ son transformados en producto/cociente de estas mismas expresiones. Es mucho mejor cuando se trata de funciones que contienen los factores de $\ln(1+x),\ln(1+x^2),\ln(x),\ln(1-x)$

NB:

este cambio de variable está vinculada a $y=\dfrac{2x}{1+x}$

PS:

Importante: $\phi^{-1}=\phi$

PS2:

Importante:

Si $x\in [0;1]$,

\begin{align}\arctan\left(\phi(x)\right)=\frac{\pi}{4}-\arctan x\end{align}

PS3:

\begin{align} \phi(\tan x)&=\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right) \end{align}

$y=\phi(x)$ es el equivalente en el "algebraica lado" de la trigonométricas sustitución de $y=\dfrac{\pi}{4}-x$ para las integrales $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}f(\tan x)dx$

ADDENDUM:

El llamado Serret integral de la $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx$ no calculadas primero (al menos en un texto publicado) por Serret (consulte el artículo mencionado en Omegadot la respuesta)

Hoy en dia la gente copia y pega textos de otras personas, pero a menudo no retirar las mismas fuentes.

Si de búsqueda para el artículo de Serret (1844):

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16388p/f442n1.capture

El principio de este artículo (en inglés traducción del francés), dice (lo siento por mi mala inglés):

"El valor de esta integral, dada por M. Bertrand en el volumen anterior de esta revista, podría ser obtenido de forma rápida sin la computación integral."

(volumen anterior publicado en 1843)

El artículo de M. Bertrand sobre el llamado Serret integral: http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1843_1_8_A7_0.pdf

El método utilizado no es fácil de entender para el seguro. Pero da buen resultado.

Answer 2

Creo que la sustitución que quieres decir es que el llamado auto-similar de sustitución de $$x = \frac{1 - t}{1 + t}.$$ Observe que la sustitución de un producto es igual a su propio inverso y por lo tanto es un ejemplo de una involución.

La sustitución de un producto que funciona mejor en las integrales definidas cuando los límites de integración son entre 0 y 1 y el integrando contiene factores que involucran $x$, $1- x$, e $1 + x$ (incluyendo los términos que reducir a estos a través de la factorización como $1 - x^2$ y así sucesivamente), pero, naturalmente, no está limitada a este tipo de integrales. De nuevo, como con cualquier cosa que ver con la integración, se llega a la práctica.

Usted puede encontrar el corto expositiva papel de Encontrar algunas de las integrales usando un interesante auto-similar de sustitución de interés, ya que contiene una serie de interesantes ejemplos que hacen uso de la sustitución.

Como más difícil de ejemplo, se puede cortar con sus dientes el siguiente: $$\int_0^1 \frac{1}{1 - x^2} \ln \left (\frac{1 + x}{2x} \right ) \, dx = \frac{\pi^2}{12}.$$

Answer 3

En mi opinión, esta sustitución es sólo un niño pequeño, o un lapso de mucho más grande de sustitución.

Véase, por ejemplo, en este caso, de hecho, su sustitución funcionaría muy bien si desde mi enlace tuvimos $\ln(1+x)$ e $P(x)$ sería algo así como: $x^2+1$ o $x^2+4x+5$ o de otras variaciones, pero esos son solo algunos de los casos.

No creo que uno puede responder a esta rigurosamente como es bastante subjetiva, usted puede hacer frente a la integral por un método diferente que con esta sustitución (a veces se hace mucho más difícil), pero de hecho es bastante útil cuando se trata de resolver las integrales por simetría, que creo que usted debe apuntar para ver, cuando se desea aplicar esta sustitución en su mayoría (si usted cree que la simetría es una manera, y luego hacerlo) y generalmente esto sucede cuando tienen un arctan o función logaritmo del numerador combinado con una función racional.

Un hermoso uso de la misma se realiza por Jack en esta respuesta, que es bastante increíble cómo todo lo que simplica, pero como ya he mencionado sólo tiene que buscar la simetría. Yo también tienden a usar cuando tengo una extraña grado del polinomio en el denominador, ya que simplifica bastante agradable para un menor grado del polinomio, véase, por ejemplo, de lo que estoy hablando aquí y aquí.