Ejemplos de funciones trascendentales que dan casi enteros

Question

De manera informal, un "casi entero" es un número real muy cercano a un número entero.

Hay algunas formas conocidas de construir esos ejemplos de forma sistemática. Una de ellas es mediante el uso de ciertos números algebraicos llamados números de Pisot. Estos números $\alpha$ tienen la propiedad de que sus potencias pueden acercarse arbitrariamente a los enteros, es decir:

$\lim_{n \to \infty} \alpha - [\alpha^n] = 0$

donde $[ .]$ es la función entera más cercana.

Un ejemplo muy conocido es el de la proporción áurea $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ cuyas potencias son cada vez más cercanas a los números enteros:

$\varphi^{19} = 9349.000107...$

$\varphi^{25} = 167761.00000596...$

Otro ejemplo proviene de los números de la forma $e^{\pi\sqrt{n}}$ .

Un ejemplo muy conocido es la constante de Ramanujan:

$e^{\pi\sqrt{163}} = 262537412640768743.99999999999925007...$

Hay otra forma interesante de generar casi enteros utilizando los números $e$ y $\pi$ . Utilizando la identidad

$$\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2x}=x^{-1/2}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2/x}.$$

podemos derivar la identidad aproximada

$$ (*) \sum_{k=0}^{n-1}{e^{-\frac{k^2\pi}{n}}}\approx\frac{1+\sqrt{n}}{2}$$

que proporciona una forma de construir casi enteros con precisión creciente:

$ e^{-\frac{\pi}{9}} + e^{-4\frac{\pi}{9}} + e^{-9\frac{\pi}{9}} + e^{-16\frac{\pi}{9}} + e^{-25\frac{\pi}{9}} + e^{-36\frac{\pi}{9}} + e^{-49\frac{\pi}{9}} + e^{-64\frac{\pi}{9}} = 1.0000000000010504... $

$\sum_{k=1}^{24} e^{-k^2\frac{\pi}{25}} = 2.000000000000000000000000000000000310793...$

$\sum_{k=1}^{48} e^{-k^2\frac{\pi}{49}} = 3.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000838654...$

Entonces, la pregunta es: ¿hay otra forma de generar casi enteros -con o sin precisión creciente- utilizando funciones trascendentales, como en el ejemplo anterior?

(Tenga en cuenta que hay una forma trivial de hacer esto: Tomando una serie convergente $\sum_{k = 1 }^\infty x_k$ y su límite $L$ el número $1/L\sum_{k = 1 }^n x_k$ será un casi entero, es decir, cercano a $1$ Pero estoy buscando un ejemplo como la identidad (*), o uno diferente, no trivial). Por lo tanto, estoy buscando un ejemplo que puede ser de la forma $\sum_{k = 1 }^n f(x_k)$ , donde $f(x)$ es una función trascendental de $x$ que es capaz de generar un conjunto de diferentes casi enteros (excluyendo el cero).

Answer 1

1) Si $a,b\in\textbf{R}$ y $a<x<b$ , entonces si $f(x)$ es continua: $$ \frac{b-a}{N}\sum^{N}_{n=0}f\left(a+\frac{b-a}{N}n\right)=\int^{b}_{a}f(t)dt+o(1)\textrm{, }N\rightarrow\infty. $$ 2) Si $\left[x\right]$ denota el mayor número entero $\leq x$ y $a$ es un número real no racional, entonces $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left[na\right]}{n}=a $$ es decir, todo número real puede ser aproximado por números racionales arbitrariamente bien.

3) Si $\beta_{1}=1/2$ , $$ \beta_{r+1}=\frac{1-\sqrt{1-\beta_{r/2}}}{2}, $$ entonces $$ \sin\left(\frac{\pi}{2(r+1)}\right)=\sqrt{\beta_r} $$ 4) Esta es bastante complicada. $$ e^{-25\pi}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\sqrt{4+75\pi-12\log 2+6\log k}-6.2619875...\times 10^{-103}, $$ donde
$$ k=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-(51841-23184\sqrt{5})Y^{12}}}, $$ donde $Y$ es una raíz de $$ Y^3+5s^{-1}Y^2-sY-1=0, $$ donde $s$ es tal $$ s=\sqrt[3]{\frac{(t-1)^5}{11+6t+6t^2+t^3+t^4}}, $$ donde $$ t=2\sinh\left(\frac{1}{4}\textrm{arcsinh}\left(\frac{9+\sqrt{5}}{2}\right)\right). $$ Tenga en cuenta que $t$ es un número algebraico.

5) Establecer $$ p=\sqrt{2+216\cdot 5^{1/4}-96\cdot 5^{3/4}} $$ y $$ k=1-\frac{2}{1+t}\textrm{, }t=\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{p}\right)^2}{2\cdot 2^{3/4}p^{1/4}\sqrt{2+p}}. $$ También $$ l=\left(1+\frac{2^{3/4}p^{1/4}}{\sqrt{2+p}}\right)^2\frac{4+2\sqrt{5}+\sqrt{2}(3+2\cdot 5^{1/4})}{160}. $$ Entonces $$ \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^2}{\pi^{3/2}}=\frac{4+k^2-6k^4}{4l}-7.01743379...\times 10^{-107}. $$ 6) (Ramanujan) Para $|x|<1$ , $$ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-x^{p_k}\right)^{-1}=1+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{x^{p_1+p_2+\ldots+p_k}}{(1-x)(1-x^2)\ldots(1-x^k)},\tag 1 $$ donde $p_1,p_2,\ldots,$ denotan los primos en orden ascendente. La fórmula anterior $(1)$ se cancela, es decir, la serie de Taylor a ambos lados de $(1)$ sólo están de acuerdo con los primeros 22 términos. (véase Bruce C. Berndt. "Cuadernos de Ramanujan I". Springer-Verlag, New York Inc. (1985) página 130).

7) Esta se inspira en una fórmula de Ramanujan

Dejemos que $a,b$ sean reales positivos con $ab=2\pi$ y $\Psi(x)$ analítica sobre $\textbf{R}$ . Dejemos también $$ M\Psi(s)=\int^{\infty}_{0}\Psi(x)x^{s-1}dx, $$
sea la transformada de Mellin de $\Psi$ . Si además $$ \phi(x)=Re\left(M\Psi(ix)n^{-ix}\right). $$ Entonces $$ a\sum^{\infty}_{k=0}\Psi\left(ne^{ak}\right)=a\left(1/2-\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\Psi^{(k)}(0)}{k!}\frac{n^k}{e^{ak}-1}\right)+c+2\sum^{\infty}_{k=1}\phi(bk),\tag 2 $$ donde $c=\lim_{h\rightarrow 0}\phi(h)=:\phi(0)$ .

Ejemplo

Para $\Psi(x)=e^{-x}$ obtenemos $$ a\sum^{\infty}_{k=0}e^{-ne^{ak}}=a\left(1/2-\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^kn^k}{k!(e^{ak}-1)}\right)-\gamma-\log n+2\sum^{\infty}_{k=1}\phi(bk),\tag 3 $$ donde $\phi(x)=Re\left(\Gamma(ix)n^{-ix}\right)$ y $c=\phi(0)=-\gamma-\log n$ .

Para $n=1$ en (3), obtenemos la fórmula de Ramanujan y una buena aproximación de $\gamma$ constante (constante de Euler).

Si $a=1/N$ entonces $b=2\pi N$ y obtenemos como $N\rightarrow\infty$ $$ \gamma=-\frac{1}{N}\sum^{\infty}_{k=0}\exp\left(-e^{k/N}\right)+\frac{1}{N}\left(\frac{1}{2}-\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!\left(e^{k/N}-1\right)}\right)+O\left(e^{-\pi^2N}\right)\tag 4 $$ También para $a=\frac{\log A}{N}$ entonces $b=\frac{2\pi N}{\log A}$ y mantiene $$ \gamma=-\frac{\log A}{N}\sum^{\infty}_{k=0}\exp\left(-A^{k/N}\right)+\frac{\log A}{N}\left(\frac{1}{2}-\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(A^{k/N}-1)}\right)+O\left(e^{-\pi^2N/\log A}\right).\tag 5 $$ Colocar ahora $$ k_{10}(N)=\left[\frac{N}{\log A}\log\left(\frac{N\pi^2}{\log A}\right)\right]+1 $$ y $$ k_{20}(N)=\left[\frac{N\pi^2}{C_N\log A}\right]+1\textrm{, }C_N=P_L\left(\frac{A^{1/N}N\pi^2}{e\log A}\right), $$ donde $P_L(x)$ es la función logarítmica del producto, es decir $e^{P_L(x)}P_L(x)=x$ . Entonces $$ \frac{\gamma}{\log A}=-\frac{1}{N}\sum^{k_{10}(N)}_{k=0}\exp\left(-A^{k/N}\right)+\frac{1}{N}\left(\frac{1}{2}-\sum^{k_{20}(N)}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(A^{k/N}-1)}\right)+O\left(e^{-\pi^2N/\log A}\right).\tag 6 $$

8) $$\left(e^{\pi\sqrt{163}}-744\right)^{1/3}=640319.99999999999999999999999939031735...$$