No estoy seguro de por qué "los puntos existen" no es un axioma en geometría, dado que los otros axiomas son igualmente primitivos y aparentemente tan obvios.
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ANone
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Haciendo un poco de meta, sino el punto de axiomas no es sólo para jugar pedante. Ellos se diferencian de manera significativa entre los escenarios que podrían ser considerados. Si la geometría de un sistema que no tiene puntos era una cosa, entonces tal vez habría un campo con un axioma de esta naturaleza.
Nota: a menudo, la matemática de los campos de interés para el mundo exterior son aquellos que imitan algo en la vida real. No, es obvio que "el triángulo de la igualdad sostiene". Sin embargo, en matemáticas, no está claro que sea siempre el caso. De hecho, hay casos interesantes en los que no se pueden sostener, y estos deben ser diferenciadas.
EDITAR a continuación, algunos extra pensamientos:
A menudo la "existencia" axiomas no son necesarios para los simples razones gramaticales. Es a menudo el caso de que los argumentos de ir (o puede ser reformulado) algo a lo largo de las líneas de: existen las siguientes restricciones/todas las cosas considera que debe obedecer estas normas/no hay cosas que no se atengan a estas normas. Si esto es verdad sin la advertencia de no-vacío, entonces es en el caso general como la caja vacía automáticamente es cierto. Esto es a menudo el más fácil de trabajar, y no necesita de 'existir', como un axioma.
Btibert3
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3555
Uno de los puntos que falta de las otras respuestas es la de un vacío de la verdad. Si formulado correctamente, no necesitamos los puntos para los teoremas en la geometría de mantener. Si no hay ningún ángulo recto, triángulos, a continuación, el teorema de Pitágoras trivialmente se tiene para todos ellos, si no hay círculos, Thales teorema de mantener para todos ellos y así sucesivamente. Puede haber un par de teoremas que no pueden ser expresados en la forma "Para todos los objetos x de clase Y tenemos que ...", pero incluso los que podría ser reformulada como "Si existe un punto, entonces...".
Así que digamos que usted tome un modelo de la teoría del punto de vista de la geometría y la vemos sólo como un "conjunto de teoremas que mantener para cualquier modelo que satisface los axiomas". A continuación, la adición de "puntos" como un axioma sólo excluir el conjunto vacío como un modelo, que era una especie de aburrido modelo de todos modos. Podría ser una razón para hacerlo por comodidad y legibilidad, de la misma manera como, por ejemplo, la mayoría de los autores excluir $\{0\}$ a partir de los campos, pero las diferencias en la teoría va a ser bastante menor.
