¿Hay algún otro número que tenga propiedades similares como$21$?

Question

Es mi observación.

Vamos $$n=p_1×p_2×p_3×\dots×p_r$$ donde $p_i$ son los principales factores y $f$ e $g$ son las funciones $$f(n)=1+2+\dots+n$$ Y $$g(n)=p_1+p_2+\dots+p_r$$ Si ponemos $n=21$luego $$g(f(21))=g(231)=21.$$ He comprobado hasta $n=10000$, no he podido encontrar otro número con este establecimiento $g(f(n))=n$.

Podemos demostrar que esos otros números no existen?

Answer 1

Esta es una muy interesante pregunta...

$\newcommand{sopfr}{\operatorname{sopfr}}$ $f(n)=\frac{n(n+1)}2$ e $g(n)=\sopfr(n)$, la suma de los factores primos de a$n$ con repeticiones (OEIS A001414). Queremos $n$ tal que $g(f(n))=n$o $$\sopfr\left(\frac{n(n+1)}2\right)=n\tag1$$ que se puede dividir en dos de los casos debido a la propiedad de $\sopfr(ab)=\sopfr(a)+\sopfr(b)$.

• Si $n$ es incluso, a continuación, $\sopfr\left(\frac n2\right)+\sopfr(n+1)=n$. Sabemos que $\sopfr(n)\le n$, lo $\sopfr\left(\frac n2\right)\le\frac n2$ y, en consecuencia, $\sopfr(n+1)\ge\frac n2$. Cualquiera de las $n+1$ es un primer, caso en el cual el lado izquierdo de $(1)$ es mayor que $n$ y para la igualdad, no puede mantener, o $n+1$ es impar compuesto y así tiene al menos un factor primo, al menos, 3*, produciendo $\sopfr(n+1)\le3+\frac{n+1}3$ y por lo tanto $$\frac n2\le3+\frac{n+1}3$$ lo que es cierto sólo para $n\le20$. La comprobación de los $n$ revela que no hay soluciones a $(1)$.
• Si $n$ es impar, el razonamiento es similar: $\sopfr\left(\frac{n+1}2\right)+\sopfr(n)=n$, donde $\sopfr\left(\frac{n+1}2\right)\le\frac{n+1}2$ e lo $\sopfr(n)\ge\frac{n-1}2$. Desde $n$ es impar, o sea es el primer y el lado izquierdo de $(1)$ es mayor que $n$, o tiene al menos un factor primo, al menos, 3* y $\sopfr(n)\le3+\frac n3$, dando $$\frac{n-1}2\le3+\frac n3$$ que sólo tiene por $n\le21$. 21 es la solución a $(1)$ señalado en la pregunta original; sólo hemos demostrado que es el único.

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*Técnicamente tenemos que repetir el argumento para otros posibles menos factores primos $k$ de $n$ o $n+1$ – y el límite superior $N_k$ de la solución a las desigualdades en $n$ aumenta en consecuencia, cada 3 reemplazado con $k$. Sin embargo, el menor número compuesto con por lo menos el primer factor de $k$ es $k^2$, y esto aumenta mucho más rápido que el de $N_k$ (que es $\sim\frac k2$). De hecho, $5^2$ ya supera $N_5$ tanto de las desigualdades.

El método que yo uso por encima tiene muy fuertes similitudes con el método que he utilizado en mi más famosa respuesta de todos. Es pura coincidencia que el 21 es una solución a los problemas que me respondió.