Expandiendo la función delta de Dirac con el polinomio de Hermite

Question

Mi pregunta está relacionada con una fórmula en este papel

En ese documento, se intenta ampliar la función delta de Dirac $\delta(x)$, que tiene la propiedad de $$ \int \delta(x)f(x) \, dx = f(0), $$ utilizando el polinomio de Hermite. Así que escribir

$$ \delta(x) = \sum_{n=0}^{\infty}A_n H_{2n}(x)e^{-x^2} $$

y obtener el coeficiente de $A_n$ por

$$ \begin{align} \int H_{2m}(x) \delta(x) \, dx &= \int H_{2m}(x) \sum_{n=0}^{\infty}A_n H_{2n}(x)e^{-x^2} \\ \Rightarrow H_{2m}(0) &= A_m \sqrt {\pi}4^m (2m)! \\ \Rightarrow A_m &= \frac{(-1)^m}{m! 4^m \sqrt{\pi}} ~~~~~~~~(H_{2n}(0)=\frac{(2n)!(-1)^n}{n!}) \end{align} $$

Habitual $\delta(x)$ función tiene la propiedad de que es igual a cero para $x\neq 0$, pero $\delta(x) \rightarrow \infty $ $x=0$

Ahora lo que sigue sobre la expansión, si sustituimos $x=0$ a la fórmula, obtenemos

$$ \begin{align} \delta(0) & = \sum_{n=0}^{\infty}A_n H_{2n}(0) \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{n!n!4^n\sqrt{\pi}} \end{align} $$

Pero esta serie converge, por lo que la costumbre de la propiedad de $\delta(x)$ no se recupera. Así que mi pregunta es, es esta expansión para $\delta(x)$ válido?

Answer 1

El taponamiento de la serie en Wolfram Alpha nos da que diverge, ver aquí. Así las expansiones parece ser válida. Sólo una cosa menor, es una trampa para evaluar realmente distribuciones como la función de Dirac, como no son en realidad funciones y, realmente, sólo tienen sentido bajo un signo integral. Ver como un funcional con la propiedad que aparece en la parte superior es mucho más claro y evita función de tener infinitos valores y otras cosas raras.