Mi pregunta está relacionada con una fórmula en este papel
En ese documento, se intenta ampliar la función delta de Dirac $\delta(x)$, que tiene la propiedad de $$ \int \delta(x)f(x) \, dx = f(0), $$ utilizando el polinomio de Hermite. Así que escribir
$$ \delta(x) = \sum_{n=0}^{\infty}A_n H_{2n}(x)e^{-x^2} $$
y obtener el coeficiente de $A_n$ por
$$ \begin{align} \int H_{2m}(x) \delta(x) \, dx &= \int H_{2m}(x) \sum_{n=0}^{\infty}A_n H_{2n}(x)e^{-x^2} \\ \Rightarrow H_{2m}(0) &= A_m \sqrt {\pi}4^m (2m)! \\ \Rightarrow A_m &= \frac{(-1)^m}{m! 4^m \sqrt{\pi}} ~~~~~~~~(H_{2n}(0)=\frac{(2n)!(-1)^n}{n!}) \end{align} $$
Habitual $\delta(x)$ función tiene la propiedad de que es igual a cero para $x\neq 0$, pero $\delta(x) \rightarrow \infty $ $x=0$
Ahora lo que sigue sobre la expansión, si sustituimos $x=0$ a la fórmula, obtenemos
$$ \begin{align} \delta(0) & = \sum_{n=0}^{\infty}A_n H_{2n}(0) \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{n!n!4^n\sqrt{\pi}} \end{align} $$
Pero esta serie converge, por lo que la costumbre de la propiedad de $\delta(x)$ no se recupera. Así que mi pregunta es, es esta expansión para $\delta(x)$ válido?