Krull-Schmidt-Remak para paquetes de vectores

Question

Estoy leyendo Nori papel fundamental esquema de grupo, y tengo algunos problemas en ciertos pasajes de las pruebas. Este es uno de capítulo 1, 2.3.

Deje $X$ ser una completa conectados reducidos $k$-esquema. Tenemos que $\operatorname{H}^0(X, \operatorname{end}V)$ es de dimensión finita para todas las vectorial finito paquetes de $V$, y Nori estados que esto implica que Krull-Schmidt-Remak se tiene: para todos los vectorial finito haces no hay una única descomposición (hasta reordenar bla, bla, bla...) en una suma directa de indecomposable subbundles ($V$ es indecomposable si $V=V_1\oplus V_2\Rightarrow V=V_1\vee V=V_2$). Por qué?

Answer 1

Para futuros lectores, respondo a esta vieja pregunta mía. La prueba se puede encontrar en el artículo de Atiyah sobre el teorema de Krull-Schmidt con aplicación a las gavillas .

Answer 2

Si$H^0(X, End V)$ es fd, entonces es un fd$k$ - álgebra, por lo que encontramos una descomposición máxima de la identidad como una suma de idempotentes ortogonales, por ejemplo,$1 = \sum_i e_i.$ (Aquí máximo significa que no podemos refinar esto aún más.) Esto proporciona la descomposición correspondiente de$V$. (El sumando$V_i$ de$V$ es la imagen del idempotent$e_i$.)