Establecer$a_1 = 1$. Luego se elige$a_n$ para que sea el entero positivo distinto más pequeño, de manera que$$\frac{\sum_{i = 1}^n a_i}{n}$$ is a Fibonacci number. If my calculations are correct, the sequence starts out $ 1, 3, 2, 6, 13, 5, 26, 8, 53, 93, 21$. From the definition I would think this sequence does contain all integers. But I can't rule out the possibility that for some $ n $ puede que no haya un valor disponible posible con el que continuar la secuencia. ¿Es posible probar esto de una manera u otra?
Respuesta
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Zander
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La secuencia puede ser siempre continua, pero no contiene todos los enteros positivos.
Deje $F_n$ el valor del $n$ésimo número de Fibonacci, $F_0=0,F_1=F_2=1$.
Deje $s_n = \sum_{i=1}^n a_n$, y según la definición de la secuencia que $s_n/n = F_{k(n)}$ es un número de Fibonacci, vamos a $k(n)$ ser el índice de la serie de números que es el promedio de $a_1,\ldots,a_n$.
Para ver que la secuencia puede ser siempre continua, vamos a $n\ge 4$$A=\max_{i=1}^n a_i\ge 6$, luego $F_A>A$, $s_n< nA$ y $$ a = (n+1)F_A-s_n>F_A>UN $$ es posible continuación; aún no ha aparecido y le daría un número Fibonacci $F_A$ como promedio de la primera $n+1$ si $a_{n+1}=a$.
Para demostrar que no todos los enteros positivos aparecen podemos demostrar que $k(n)$ es no decreciente, por lo $a_n$ tiene un crecimiento exponencial y omite la mayoría de los valores.
Buscando en bruto tasas de crecimiento $$ \frac{F_{i+1}}{F_i} > \frac{3}{2} \quad \text{para }i>3\\ 1<\frac{i+1}{i} < \frac{3}{2} \quad \text{para }i>2 $$ de ello se sigue que si $n>2$ $k(n)>3$ $$ (n+1)F_{k(n+1)} = s_{n+1}>s_n = nF_{k(n)}\\ \frac{F_{k(n)}}{F_{k(n+1)}} < \frac{n+1}{n} \implica k(n)\le k(n+1) $$
Desde $s_1=1$, por convención decir $k(1)=2$, entonces sólo tenemos que comprobar $k(2)=k(3)=3,k(4)=4$ que $k(n)$ siempre es no decreciente en $n$.
Si $k(n+1)=k(n)$ $$ s_{n+1} = (n+1)F_{k(n)} = s_n+F_{k(n)}\implica a_{n+1} = F_{k(n)} $$ De lo contrario, $k(n+1)\ge k(n)+1$ y $$ s_{n+1} \ge (n+1)F_{k(n)+1} = s_n + nF_{k(n)-1}+F_{k(n)+1} \implica a_{n+1} \ge nF_{k(n)-1}+F_{k(n)+1}>F_{k(n)} $$
Por lo tanto $a_{n+1}\ge F_{k(n)}$. Desde $k(n)$ es no decreciente tendremos por ejemplo, $a_n>21$ todos los $n>11$. Así, la secuencia omite 4,7,9,etc.
Se puede decir que un poco más. Definir las secuencias $$ G_{d,n} = (2a)F_n+F_{n-1}\\ G_{0,n} = 2,5,13,26,53,101,\ldots \\ G_{1,n} = 1,4,11,23,48,93,177,328,599,\ldots $$ a continuación, podemos observar que $$ a_5=G_{0,3} \quad a_7=G_{0,4} \quad a_9=G_{0,5} \\ a_6 = F_5 \quad a_8 = F_6 \\ $$ pero desde $F_7=G_{0,3}=a_5=13$ ya había aparecido, los cambios en el patrón de con $a_10$. A partir de entonces $$ a_{10} = G_{1,6} \quad a_{12}=G_{1,7} \quad a_{2n} = G_{1,n+1} \\ a_{11} = F_8 \quad a_{13} = F_9 \quad a_{2n+1} = F_{n+3} $$ Este patrón se mantiene durante bastante tiempo. Si es el caso de que $G_{1,n}$ no contiene los números de Fibonacci para$n>1$, entonces el patrón se mantenga para siempre, y que se confirman las conjeturas sobre la OEIS página de esta secuencia, es decir, que $$ a_{2n+1}=F_{n+3} \quad \text{para }n>4 \\ $$ y $$ a_{n} = 2a_{n-2}+a_{n-4}-2a_{n-6}-a_{n-8} \quad \text{para }n>17 $$ desde la relación recursiva $$ T_n = 2T_{n-1}+T_{n-2}-2T_{n-3}-T_{n-4} $$ is satisfied by both $F_n$ and $G_{d,n}$ (and in fact by any sequence of the form $T_n = uF_n + vF_{n-1}$).
Por desgracia, en el momento en que no se puede descartar la posibilidad de que $G_{1,n+1} = F_{m+3}$ algunos $n>2$$m$, en cuyo caso $a_{2n}=F_{m+3}$ y estos patrones se rompe al $a_{2m+1}=G_{2,m+1}\ne F_{m+3}$, y un patrón diferente surgirá.
