Pregunta sobre la fórmula integral de Cauchy

Question

$$\int_{\gamma=(i,1)} \frac{z^3}{(z-i)^n} dz$$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ .

¿Puede alguien ayudarme a responder a esta pregunta, ya que no consigo encontrar la respuesta correcta?

Hay que tener en cuenta que para resolverla hay que utilizar la fórmula integral de Cauchy.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Parametrizar el contorno como $z=i+e^{i\theta}$ para $0\leq\theta\leq 2\pi$ . Entonces, por definición, tienes $$\int_0^{2\pi}\frac{(e^{i\theta})^3}{((i+e^{i\theta})-i)^n}\cdot ie^{i\theta}\,d\theta=i\int_0^{2\pi}\frac{(e^{i\theta})^3}{e^{in\theta}}\cdot e^{i\theta}\,d\theta=i\int_0^{2\pi}(e^{i3\theta})e^{i(1-n)\theta}\,d\theta.$$ Sigue simplificando y podrás resolverlo.

Answer 2

Utiliza el teorema del residuo. Como $\cfrac{z^3}{(z-i)^n}$ tiene un polo de orden $n$ en $z=i$ y analítica en cualquier lugar que no sea $z=i$ en el dominio $|z-i|<1$ por el teorema del residuo, tenemos $$\int_{\gamma}\frac{z^3}{(z-i)^n}dz=2\pi ig(i),\text{where }g(z)=\frac{1}{(n-1)!}(z^3)^{(n-1)}$$

El teorema del residuo se obtiene a partir de la fórmula integral de Cauchy.

Por la fórmula integral de Cauchy, tenemos $$2\pi if(z)=\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$ Diferencie ambos lados con respecto a $z$ $n-1$ veces, obtenemos $$2\pi if^{(n-1)}(z)=(n-1)!\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^n}d\zeta$$