Si aceptamos una declaración falsa, ¿podemos probar algo?

Question

Creo que la pregunta está contenida en el título.
Supongamos que comenzamos por algo que es falso, por ejemplo,$1=0$.
¿Es posible usar solo$\Rightarrow$ (y por supuesto$\lnot ,\wedge,\lor$) para probar cualquier posible declaración?
Han pasado años desde que estudié lógica en la universidad, así que preferiría una explicación simple
( si es posible )

Answer 1

Si aceptamos una declaración falsa, podemos probar de todo?

Si por "falso", nos referimos contradictorio, entonces la respuesta es sí, por el principio de la explosión. Por ejemplo, comenzar con los axiomas de Peano y se acuestan por la sentencia de $1=0$. A continuación, puesto que ya es un teorema de los axiomas de Peano que $1 \neq 0$, tenemos una contradicción. Decimos que el sistema resultante es "incoherente" (lo que significa que se tiene una contradicción), y por lo tanto satisface las condiciones bajo las cuales el principio de la explosión puede ser invocada.

Ahora por otro lado, si por "falso" queremos decir que no, entonces la respuesta es no necesariamente. Por ejemplo, comenzar de nuevo con los axiomas de Peano, pero esta vez tocan adicionales axioma que dice: "los axiomas de Peano son incompatibles." Paradójicamente, esto no implica una contradicción. Por lo tanto, se puede probar todo. Por ejemplo, elegir cualquier frase, $\varphi$ en el idioma de los axiomas de Peano; no podemos demostrar tanto $\varphi$ $\neg \varphi$ en el sistema bajo discusión. Sin embargo, se aceptó una declaración (es decir, que los axiomas de Peano son incompatibles) que es casi seguro falsas.

Answer 2

Puede utilizar una tabla de verdad para demostrar que $P\implies [\neg P\implies Q]$.

En palabras, si sabemos que $P$ es cierto, pero hemos de suponer, por el bien del argumento, que $P$ es falsa (es decir,$\neg P)$, entonces cualquier proposición $Q$ se pueden derivar.

También podemos demostrar este teorema como sigue:

1. Supongamos $P$

2. Supongamos $\neg P$

3. Supongamos $\neg Q$

4. Obtenemos la contradicción $P\land \neg P$

5. Por lo tanto, debemos tener $\neg\neg Q$ o $Q$

6. Por lo tanto, $\neg P \implies Q$

7. Por lo tanto, $P\implies [\neg P\implies Q]$

Answer 3

Si usted está usando Deducción Natural (rif.Ian Chiswell & Wilfrid Hodges, la Lógica Matemática, 2007), - pag.25 - usted tiene la (a$\lnot$-intro) regla (o RAA : Reductio Ad Absurdum) :

supongamos que tenemos una derivación $D \Rightarrow \bot$ cuya conclusión es $\bot$ , entonces no es una derivación $D' \Rightarrow \phi$ cuyos supuestos son los de $D$, excepto possiby $(\lnot \phi)$ (donde - pag.24 - $\bot$ es una afirmación que es definitivamente falso (absurdo)).

En un enfoque "tradicional", que va a explotar la tautología : $A \rightarrow (\lnot A \rightarrow B)$ ; pero hay una contradicción y no una declaración falsa.

Sólo si usted está trabajando en una teoría como la de primer orden de la Aritmética de Peano, donde usted puede probar que $1 \neq 0$ ( $\vdash \lnot 1 = 0$ ), a partir de su asunción $1=0$, con la por encima de la tautología, puede derivar $B$ (lo que sea).

Answer 4

Cualquier teorema se basa en axiomas establecidos y teoremas. Así que cuando añada una deductivo teorema a su sistema de teoremas. Usted tiene que garantizar que su sistema es auto-consistente. De lo contrario, el sistema es una tontería.

Por supuesto, usted puede agregar $1=0$ en su sistema de teoremas, pero no sé cuál es tu sistema establecido. En el anillo de la teoría, $1=0$ implica un trivial anillo y eso está muy bien. Pero si $1=0$ se basa en los axiomas de los números naturales, entonces se puede derivar nada desde "$1=0$"$\to q$ es cierto lo $q$ es debido a $1=0$ es falso. Pero, sin duda, lo que deriva de $1=0$ puede contratos establecidos teoremas o axiomas en el sistema de teoremas.