Rango del módulo proyectivo definido como el más pequeño $n$ tal que $P$ es un sumando directo de $R^n$

Question

Sobre un anillo conmutativo $R$ el rango de un módulo proyectivo $P$ se define mirando el mapa $\text{rank}(P) : \text{Spec}(R) \rightarrow \mathbb{N}_0$ dado por $\mathfrak{p}\mapsto \text{rank}_{R_\mathfrak{p}}(P\otimes_RR_\mathfrak{p})$ . Esto tiene sentido ya que $P\otimes_RR_\mathfrak{p}$ es proyectiva sobre $R_\mathfrak{p}$ por lo tanto, libre porque $R_\mathfrak{p}$ es local. Este mapa es continuo, por lo que debe ser localmente constante ya que $\mathbb{N}_0$ es discreto. Si $\text{Spec}(R)$ está conectado ( es decir $R$ no tiene idempotentes no triviales) entonces este mapa es constante; finalmente, el rango de $P$ se define como esta constante.

¿Por qué no podemos definir $\text{rank}(P)$ para ser el menos $n$ tal que $P$ es un sumando directo de $R^n$ (si $P$ es de generación finita)? Esto está bien definido y no requiere conectividad. ¿Es útil o se utiliza?

Answer 1

Por supuesto que se puede hacer esa definición, pero hay que llamarla de otra manera que no sea de rango: si $P$ es cualquier módulo proyectivo que no es libre, entonces no es un sumando directo de $R^{\mathrm{rank}(P)}$ (el rango es aditivo y su complemento sería por tanto el rango $0$ proyectiva, por lo que $0$ ). Para un ejemplo explícito, hay que empezar con $R$ algo que no sea un anillo polinómico (todos los proyectivos generados finitamente sobre anillos polinómicos son libres). Para un ejemplo aritmético, tomemos un anillo cualquiera $R$ de enteros algebraicos que no es un UFD (por ejemplo, $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ), y un ideal no principal $I$ (por ejemplo, $I=(1+\sqrt{-5},2)$ ). Entonces $I$ es localmente libre de rango $1$ ya que sus localizaciones en ideales primos son todas principales, pero no es un sumando de $R$ . Para un ejemplo geométrico, tomemos el anillo de coordenadas de una parte afín de una curva elíptica, y cualquier haz de líneas no trivial sobre ella. Por ejemplo, se puede tomar el anillo $R=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x(x-1)(x+1))$ y su módulo para ser el ideal $I=(x,y)$ generado por $x$ y $y$ . Por analogía con el caso del anillo numérico, este ideal es localmente principal (todas las localizaciones de $R$ son anillos locales regulares unidimensionales, por tanto PID) y por tanto localmente libres de rango uno, pero no es un sumando de $R$ .

En el caso geométrico (variedades afines sobre un campo algebraicamente cerrado), los módulos proyectivos corresponden a haces vectoriales, y tu definición está pidiendo el menor $n$ tal que el haz vectorial correspondiente a su proyectiva es un sumando de un haz vectorial trivial de rango $n$ . Enmarcado de esta manera, no debería sorprender que su definición sea diferente del rango (que es la dimensión de la fibra de su haz).