hallazgo

Question

¿Cómo puedo integrar$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{1+\sqrt{\tan x}}dx\ \ \ ?$ $

He hecho la integral en la forma de$\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}$, pero no he podido ir más lejos.

Answer 1

Deje que$I$ sea su integral.

Configurando$u=\frac{\pi}{2}-x$ y usando$\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}$, tenemos

$$I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{1+\sqrt{\tan x}}dx=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\frac{-1}{1+\sqrt{\frac{1}{\tan u}}}du=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt{\tan u}}{1+\sqrt{\tan u}}du=J.$ $ Ahora note que$$I+J=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}.$ $ Por lo tanto,$$I=\color{red}{\frac{\pi}{12}}.$ $

Answer 2

Heh A veces hay formas de encontrar una integral definida sin encontrar una antiderivada.

Tenga en cuenta que $\tan(\pi/2-t)=1/\tan(t)$. Diga que$I$ es su integral. El cambio de las variables$t\mapsto\pi/2-t$ muestra que$$I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{1}{1+\sqrt{1/\tan(t)}}\,dt=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\sqrt{\tan(t)}}{1+\sqrt{\tan(t)}}\,dt.$ $ Por lo tanto,$$I+I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\,dt.$ $ (Eso es todo lo que tengo, lo siento ...)

Answer 3

$$ \begin{align}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}} &= \int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}} +\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}}\\ &=\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}} +\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{\sqrt {\tan t}\, dt}{1 + \sqrt{\tan t}}, \quad t = \pi/2 -x\\ &=\int_{\pi/6}^{\pi/4} 1 \, dx\\ &= \frac{\pi}{12} \end {align} $$