¿Cómo puede una transición de fase depender de la temperatura?

Question

Esta pregunta no puede ser tan simple como podría parecer, permítanme explicar lo que quiero decir.

Un sistema cuántico en la temperatura de la $T$ es descrito por una densidad del operador $$\rho = \frac{e^{-H/T}}{Z} = \sum_{i} \frac{e^{-E_i/T}}{Z} \left|E_i\right\rangle \left\langle E_i\right|$$

En la temperatura de la $T = 0$, el estado es el estado fundamental del sistema. La temperatura se incrementa, este estado se supone que la mezcla en sí con todos los estados de energía más elevada, con alta energía de los estados cada vez más y más peso. Sin embargo, cada estado, independientemente de su simetría debe estar siempre presente en la mezcla.

La expectativa de valor de un observable en este estado está dada por $$ \left\langle O \right\rangle = \mathrm{Tr}(\rho O) = \sum_{i} \frac{e^{-E_i/T}}{Z} \left\langle E_i\right| O \left|E_i\right\rangle $$

Dado que, ¿cómo puede un físico observable varían en forma discontinua con respecto a la temperatura? O, es algo equivocado en mi razonamiento?

Answer 1

Este ejemplo es una ilustración de la importancia de que el límite termodinámico en las transiciones de fase. Si el sistema tiene un número finito de grados de libertad, entonces la función de partición es una suma finita de funciones analíticas (para $T>0$) y así es analítica. Esto significa que finito, los sistemas no tienen transiciones de fase. Sin embargo, una suma infinita de funciones analíticas que no necesita ser analítico, por lo que puede haber transiciones de fase en infinidad de sistemas.

Podemos ver esto cómo funciona esto en el modelo de Ising. Si hay un número finito de vueltas, entonces tenemos que tener siempre el largo promedio de tiempo de magnetización de cero. Incluso si el sistema está magnetizado, si hay un número finito de vueltas, al final habrá una casualidad que revierte el proceso de magnetización. Usted puede imaginar que este será muy probable para un pequeño número de giros (como $10$ o así), pero a medida que el número aumenta, se va a llegar a ser muy muy raro y el sistema permanecerá magnetizado en una dirección durante eones antes de invertir. Aún incluso si tiene que ser promediados a lo largo de eones de años, todavía promedio de cero.

Sin embargo, una vez que el sistema en realidad es infinito, entonces no puede haber verdadera ruptura de la simetría, como la reversión será realmente imposible. Por supuesto, todos los verdaderos sistemas son finitos, aunque algunos son tan grandes que la inversión de tiempo es tan largo como para ser infinita para todos los propósitos prácticos. Cuando el estudio de las transiciones de fase cuidadosamente para sistemas finitos, los llamados efectos de tamaño finito, deben tenerse en cuenta donde si miras lo suficientemente cerca de la transición de fase es en realidad suavizan y las cosas no se comportan de la manera en que la teoría de infinito sistemas dice que deberían.