¿Implica esto que dos espacios métricos son equivalentes?

Question

Si dos métricas$d_i$ en el mismo conjunto$X$ tienen las mismas secuencias de Cauchy (es decir, si una secuencia es Cauchy para la primera métrica, también es Cauchy para la otra y viceversa). ¿Implica que los dos espacios métricos son equivalentes (es decir, generan la misma topología)?

¡Por favor ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que si $d_1$ $d_2$ tienen las mismas secuencias de Cauchy, entonces ellos también tienen los mismos límites. Si $\{a_n\}\rightarrow b$$d_1$, entonces se debe considerar la secuencia de $a_0, b, a_1, b, a_2, b, . . .$. Es evidente que esto es de Cauchy en $d_1$, por lo que Cauchy en $d_2$, pero eso significa que es (y por lo tanto la secuencia original) debe acercarse a $b$$d_2$.

Ahora supongamos $C$ no es cerrado con respecto a $d_2$, pero cerró con respecto a $d_1$. Tomando $a$ $d_2$- cierre de $C$, pero no en $C$; entonces podemos obtener una secuencia de Cauchy de elementos de $C$ $d_2$- enfoques $a$ . . .