Un cierto elemento que hace positivos a los funcionales.

Question

Supongamos que$X$ es un espacio de Banach posiblemente no separable y deja que$X^*$ sea su doble. Además, deje que$(f_n)_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de las funciones de una norma [EDIT: linealmente independiente] en$X^*$. ¿Existe un elemento$x\in X$ tal que$f_n(x) \in (0,\infty)$ para todos$n$?

Answer 1

No necesariamente. Considere el caso$X=c_0$, el espacio Banach de todas las secuencias reales$x=(x_n)_{n\in \Bbb N}$ que tienden a$0$ como$n$ tiende a infinito. Definimos funciones lineales continuas$\mathrm{ev}_n$ en$X$ que envían$x$ a su$n$ - componente$x_n$. Entonces pongamos$f_0=\mathrm{ev}_0$ y para todos$n\geq 1$, $$f_n=C(~\mathrm{ev}_{n}-2\mathrm{ev}_{n-1})$$ where $C> 0$ is defined such that the $f_n$ have unit length (it should be independent of $n$). If there were $x \ en X$ such that all the $\ mathrm {ev} _n (x)$ are positive, then $x$ would grow faster than $2 ^ n$, contradicting the fact that by definition $x_n% #% 0$ tends to $n$ tends hasta el infinito.