Grupo de orden 21 y subgrupo de orden 7.

Question

Tengo este problema y no sé cómo resolverlo, porque en esta parte del libro solo tengo la normalidad y los teoremas de isomorfismo.

Supongamos que$G$ un grupo y$|G|=21$ asumen que$a \in G$ y$|a|=7.$ prueban que $ A = \ langle a \ rangle$, the subgroup generated by $ a$, is normal in $ G% PS

En este momento del libro NO PUEDO usar los teoremas de Sylow, así que no sé cómo hacerlo sin él. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $H$ $K$ son distintos subgrupos de $G$$|H| = |K| = 7$. Entonces, desde el $7$ es primo, debemos tener $H \cap K = 1$, y así $$|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|} = \frac{49}{|H \cap K|} = 49$$ Obviamente, esto no puede suceder en un grupo que contiene sólo $21$ elementos. Por lo tanto, $\langle a \rangle$ debe ser el único subgrupo de orden $7$.

Esto implica que $\langle a \rangle$ es normal (de hecho, la característica).

Prueba: cualquier automorphism $\phi : G \to G$ mapa de $\langle a \rangle$ a un subgrupo del mismo tamaño, por lo tanto debe mapa de $\langle a \rangle$ a sí mismo. La conjugación por $g$ es un automorphism, por lo tanto $g\langle a \rangle g^{-1} = \langle a \rangle$ todos los $g \in G$.

Answer 2

$A$ es del índice$3$, la división principal más pequeña$|G|$. Por lo tanto,$A$ es normal. Ver subgrupo normal de índice prime