¿Cómo pueden los números decimales sin fin representar longitudes finitas? Por ejemplo, pi(π), $ \sqrt {2}$

Question

Recientemente, estuve en una discusión con un colega que, si el πd realmente puede representar el perímetro exacto de un círculo o no. Para aclarar esa duda, vine aquí y encontré debajo un puesto similar:
un perímetro de Círculo como expresión de ππ ¿Conflicto?

Aunque por encima de Q es bastante similar, la respuesta no es satisfactoria para mi duda. Así que decidí representarla de manera diferente.

Ahora un círculo perfecto no es posible en el mundo real debido a varias otras razones. Sin embargo, para argumentar, asumamos que tenemos una cuerda razonablemente delgada de una longitud finita x (decir $10. \bar {0}$ cm). Usando esa cuerda, hicimos un círculo de diámetro d .

Ahora aquí hay una paradoja:

1. x es medible usando una simple regla de pie, por lo tanto es finita;
2. El perímetro teórico del círculo es πd ;

¿Cómo podemos equiparar?

x = πd

Si asigno una tarea de x para ser medido, entonces será medido perfectamente usando una simple regla de pie para 10 cm . Pero πd no puede ser medido perfectamente incluso usando un superordenador como el valor de π sigue y sigue durante trillones de decimales.

¿Desea πd representa el perímetro perfecto de un círculo o el valor más cercano?

Lo mismo se puede pedir para un cuadrado que tiene lados de 1 unidad y diagonal de $ \sqrt {2}$ . Aquí, ¿cómo se mide la longitud finita usando un decimal sin fin?

Answer 1

Has creado un falso dilema. ¿Cuántos dígitos a representación decimal de un número sólo nos dice cuánta información se necesita en el sistema decimal para describir el número.

Mientras se leen los dígitos decimales de $ \pi $ ganamos más y más detalles sobre el valor exacto del número:

$$ \begin {align} \pi &= 3.1...& \implies &&3.1 \leq & \pi\leq3.2\\ \pi &=3.14...& \implies &&3.14 \leq & \pi\leq3.15\\ \vdots && \vdots &&& \vdots\\ \pi &=3.141592...& \implies &&3.141592 \leq & \pi\leq3.141593\\ \end {align} $$ de modo que hay infinitamente muchos dígitos sólo va a mostrar que nuestro sistema decimal no es lo suficientemente "poderoso" para dar todos los detalles sobre el número $ \pi $ como un conjunto finito de datos.

El tamaño de los datos que describen $ \pi $ en un sistema de representación dado no da testimonio del tamaño del número en sí.

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Un experimento a considerar

Puedes tener la idea de que puedes medir cualquier distancia con perfecta precisión, pero intenta el siguiente experimento:

Dibuja una línea recta de longitud aleatoria en un papel. Luego mídela con una regla, lo más probable es que no encaje exactamente de una marca a otra.

Supongamos entonces, desde un punto de vista teórico, que tenemos una regla de sistema decimal con marcas infinitamente finas en ella. Entonces podrías hacer un acercamiento a la $3.14$ y $3.15$ y reconocer que $ \pi $ se encuentra en algún lugar entre esos dos, mucho más cerca de la $3.14$ que a la otra.

Después de eso, intenta acercarte un poco más a la $3.141592$ y el $3.141593$ marcas y otra vez $ \pi $ se escapa encajando en cualquiera de esos dos exactamente. Es imposible llevar a cabo este experimento en la práctica, pero en realidad lo más probable es que el mismo fenómeno sea el caso de su línea dibujada al azar - si sólo tuviera el poder de seguir haciendo zoom.

Answer 2

Como @Joanpemo señaló que no se puede hacer un círculo perfecto, así que en la práctica no encontraría el valor exacto de $ \pi $ . Como mencionó en los comentarios "¿Cómo puede un interminable decimal representar una longitud finita?" Creo que para abordar esta cuestión es importante considerar la paradoja de Zenón de la tortuga y el Aquiles. Numberphile y esto Animación de Ted-Ed ).

En la Paradoja de Zenón parece que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, pero algo que Zenón no había tocado todavía era el concepto de un límite. Decimos que el límite es el valor al que se acerca la "función" o la "secuencia" a medida que la entrada se acerca a algún valor. En la paradoja de Zeno es el límite de la secuencia de números, su límite es 2. Sin embargo, tiene una secuencia infinita de números, $ \frac {1}{2}, \frac {1}{4}, \frac {1}{8}, \frac {1}{16},...$ pero su límite es 2 (un número finito).

En los comentarios de @Matemático42 se indica cómo el valor decimal $0.9999...$ que es un valor decimal infinitamente largo es igual a 1 (un número finito). Esto se puede demostrar por lo siguiente:

$$x = 0.999...$$ $$10x = 9.999...$$ $$9x = 9$$ $$ \therefore x = 1$$

Pero con respecto a $ \pi $ No estoy diciendo que pueda ser representado por un número finito, ni tampoco la secuencia de Zeno. Pero como tiende hacia el infinito no será más grande que un límite. Así que, al igual que en la paradoja de Zeno, se hace infinitamente pequeña y nunca se hace más grande.

Espero que esto no te confunda demasiado.

Answer 3

Probablemente esté pensando con la hipótesis implícita de que "medir" un decimal lleva una cantidad finita de tiempo, de modo que un número infinito de decimales lleva un tiempo infinito y no es alcanzable.

En tales experimentos de pensamiento, se debe asumir en cambio que la medida no lleva tiempo, o un tiempo que va disminuyendo con cada decimal, con la suficiente rapidez para que la suma sea finita. Entonces la paradoja desaparece.

Otro enfoque es decir que se puede obtener una aproximación tan preciso como quieras aumentando el número de decimales. No hay un límite de principios para el proceso.

Answer 4

La medición de $ \pi $

Nada puede ser medido perfectamente en el mundo real. Imaginemos que tenemos un dispositivo que mide la longitud con una precisión de $ \varepsilon >0$ y tratar de medir la longitud denotada por $ \pi $ . $^{[1]}$ Lo que obtenemos es un poco de $x$ finamente representado con respecto a alguna unidad de medida (normalmente, conseguiremos $x=3.1415 \ldots $ si elegimos el sistema decimal). De esta manera, no sabemos que $ \pi = x$ pero sólo eso $ \pi\in\langle x - \varepsilon , x+ \varepsilon\rangle $ . Más pequeño el $ \varepsilon $ más precisamente sabemos $ \pi $ .

Lo que concluimos es que no podemos saber nunca el valor exacto de $ \pi $ midiéndolo, incluso si $ \pi $ tenía una representación decimal finita . $^{[2]}$ Por supuesto, si $ \pi $ eran racionales $^{[3]}$ nos gustaría calcula es el valor exacto y eso sería el final de la discusión. Ya que este no es el caso, si queremos saber sobre $ \pi $ necesitamos tener un dispositivo matemático que trate el problema. Tales dispositivos se llaman secuencias convergentes .

¿Cómo funciona esto? Imagina que construimos una secuencia $(a_n)$ y probar de forma abstracta que converge en $ \pi $ . Ahora sabemos que para cualquier precisión $ \varepsilon > 0$ existe $n_0 \in\mathbb N$ de tal manera que $|a_n- \pi |< \varepsilon $ para todos $n \geq n_0$ . Obsérvese que encontrar efectivamente lo que $n_0$ da la precisión deseada es una materia totalmente diferente y pertenece al campo de análisis numérico . Este El artículo de la wiki dará mucha más información sobre cómo $ \pi $ es realmente computarizada.

Representaciones infinitas que dan una longitud finita

En la respuesta de frog1944 hay una hermosa mención de la paradoja de Zeno, que es como probablemente este tipo de discusiones comenzaron formalmente en la filosofía occidental, hasta donde yo sé.

Imagina que tienes que cruzar una habitación, pero lo haces en los siguientes pasos: primero, cruzas la mitad de la distancia, luego cruzas la mitad de la distancia restante, y repites el proceso infinitamente. ¿Llegarás a tu meta? ¿O cruzarás una distancia infinita?

Matemáticamente, lo que necesitamos calcular es la suma infinita de la forma $$s = \frac 12+ \frac 14 + \frac 18+ \ldots $$ que es sólo la suma de series geométricas $$ \sum_ {n=1}^ \infty \frac 1{2^n} = 1$$ Si dibujas este proceso en papel, inmediatamente quedará claro por qué se mantiene esta igualdad. Y también resuelve nuestro problema de cruzar una habitación: cruzaremos la habitación (exactamente una vez), pero no en un número finito de pasos.

Las representaciones decimales funcionan exactamente de la misma manera; cualquier número $x \in\langle 0,1 \rangle $ puede ser representado como una suma infinita de la forma $$x = \frac {a_1}{10}+ \frac {a_2}{100}+ \frac {a_3}{1000}+ \ldots $$ donde $a_1,a_2,a_3, \ldots $ son dígitos (es decir. $a_i \in\ {0,1,2 \ldots ,9\}$ ) en representación decimal de $x$ .

No sólo que las infinitas representaciones decimales pueden representar valores finitos, más de los valores finitos no pueden ser expresados finamente $^{[4]}$ - números irracionales . Cuando digo la mayoría, lo que quiero decir es que si eliges un punto al azar en la línea de número, las posibilidades son $0$ que elegiste un número racional. Incluso los números racionales no siempre tienen una representación decimal finita, por ejemplo $ \frac 1 3 = 0.33333 \ldots $

En conclusión...

Expresión $ \pi d$ es en realidad el valor exacto de la circunferencia de un círculo - esta es la definición misma de $ \pi $ . En realidad no podemos hacerlo mejor desde $ \pi $ es irracional. Expresiones como $3.14d$ , $ \frac {22}{7}d$ etc., son sólo aproximaciones numéricas del valor exacto que podrían utilizarse en la práctica. ¿Podemos saber alguna vez el valor exacto de $ \pi $ ? No. ¿Podemos acercarnos arbitrariamente? ¡Sí!

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$[1]$ Es probable que para cualquier círculo la relación entre su circunferencia y su diámetro sea constante (es decir, la circunferencia de un círculo es proporcional a su diámetro). Denotamos esta relación con el símbolo $ \pi $ .

$[2]$ Imagina que estás midiendo algo de longitud $3$ hasta la precisión de, digamos, $5$ decimales. De lo que puedes estar seguro es que obtendrás $3.00000$ pero no puedo estar seguro de que lo que estás midiendo no sea realmente $3.00000000001$ .

_${[3]}$ No lo es._