Compacidad en$\ell ^1$. ¿Es$K := \{ (z_n)_n \in \ell^1 : |z_n| \leq |x_n| \}$ compacto?

Question

Estoy teniendo algunos problemas con lo siguiente:

Considere el siguiente conjunto de $K := \{ (z_n)_n \in \ell^1 : |z_n| \leq |x_n| \}$ para un determinado $(x_n)_n \in \ell^1$. Es $K$ un secuencially espacio compacto?

Este es mi pensamiento hasta el momento:

Sospecho $K$ es, de hecho, compacto. Queremos ver que, dado un $(\xi_k)_k \subset \ell^1$ podemos encontrar convergente larga. Así que vamos a $\xi_k= (z^k_n)_n$$(\xi_k)_k \subset K$. Para una fija $n$ tenemos que $(z^k_n)_k \subset \bar B_{|x_n|}(0) \subset \mathbb{R} $, que es compacto. Se deduce entonces que el $(z^k_n)_k$ tiene una parcial convergente larga. Vamos a continuación, $(z^{k'}_n)_{k' \in I(n)}$ donde $I(n) \subset \mathbb{N}$ es un conjunto de índices, denotan tales convergente subsuccession. Mi idea es que si podemos ver que $|\cap_n I(n)| = \infty$ $(\xi_{k'})_{k'}$ $k' \in \cap_n I(n)$ sería convergente larga de $(\xi_k)_k$. Estoy un poco atascado en cómo proceder a partir de aquí, suposing que esto conduce a algún lugar interesante.

Answer 1

Como usted ha señalado, hemos fija $n$ que la secuencia de la n-ésima entrada de nuestra secuencia es limitado y por lo tanto admite una convergencia de larga. El uso de un Cantor diagonal argumento que puede producir un subsequence $(\xi^{k_l})_l$ tal que para todos los fijos $n$ la secuencia de la $n$th entradas converge. Set $y= (y_n)_n=(\lim_{l\rightarrow \infty} \xi^{k_l}_n)_n$. Tenga en cuenta que

$$ \Vert y -\xi^{k_l} \Vert \leq \sum_{j=1}^N \vert y_j - \xi^{k_l}_j \vert + \sum_{j\geq N+1} 2\vert x_j\vert . $$

De esto podemos ver que nuestra larga converge en $\mathcal{l}^1$.