¿Puede ser cualquier espacio topológico el resultado de un esquema?

Question

Tal vez esto es trivial, pero vamos a darle una oportunidad de todos modos..

Obviamente no es un olvidadizo functor de los esquemas topológicos espacio.. pero es surjective en los objetos? es decir, me pregunto si cualquier espacio topológico es un resultado de la utilización de los desmemoriados functor de un régimen determinado? Ciertamente, esto no es cierto si consideramos que SÓLO afín esquemas (que son espectral espacios decir, la prueba de Kolmogorov, Compacto, compacto conservó después de la intersección finita de abiertos pactos, no vacío irreducibles contienen un punto genérico).. pero ... hmm esperar.. tal vez debería requerir que el espacio topológico tienen la propiedad de que cada componente irreducible debe tener al menos un punto genérico?

Answer 1

Tanto Manny Reyes y wikipedia son un poco fuera de su declaración de Hochster la caracterización espectral de los espacios (es decir, espacios topológicos homeomórficos para el espectro de algunos conmutativa anillo).

Ambos estamos perdiendo la condición de que el cuasi-compacto se abre formar una base para la topología. Tal vez más transparente la caracterización espectral de los espacios es que son precisamente a la inversa de los límites finitos $T_0$ espacios (véase el párrafo 2 en la primera página de Hochster del papel de ambos). En particular, desde el último caracterización es fácil ver que un compacto Hausdorff espacio espectral iff es totalmente desconectada ($\iff$ cero-dimensional $\iff$ Booleano). Así, la mayoría de compactas sobrio espacios no son espectral, por ejemplo, la unidad cerrada intervalo no es un espacio espectral.

Tenga en cuenta también que el trabajo termina con diversas caracterizaciones de la topológica del espacio de un esquema (por la Proposición 16): estos son precisamente los espacios homeomórficos a un subconjunto abierto de un espacio espectral.

Answer 2

M. Hochster clasificados el primer espectros de anillos conmutativos como espectral de espacios---cuasi-compacto T₀ espacios cuya cuasi-compacto abrir los subconjuntos cerrados bajo intersección finita y cada una de cuyas vacío irreductible cerrado subespacios tiene un único punto genérico (ver su papel). Además, clasifica los subyacentes espacios topológicos de los esquemas de como abrir los subespacios de espectral espacios (Prop. 16 de su libro).

En particular, como usted indica, irreductible a cualquier subespacio cerrado de un espacio de este tipo tiene un único punto genérico. (Creo que esto incluso puede ser un ejercicio de Hartshorne, voy a buscar una referencia, cuando tengo la oportunidad...) Así, en particular, la de dos puntos en el espacio con la topología indiscreta no puede ser el subyacente espacio topológico de un esquema. Estoy seguro de que hay una T₀ ejemplo. Voy a editar este si puedo pensar en un ejemplo.

Answer 3

Esto no responde estrictamente a la pregunta pero es un ejemplo interesante: \otimes_Q Spec Qbar Qbar es isomorfo al grupo de Galois G_Q. Aquí G_Q tiene la topología profinito y Qbar Spec \otimes_Q Qbar tiene la topología de Zariski. Esto es una sorpresa!

Es fácil de ver esto también: \otimes_Q Spec Qbar Qbar es el límite inverso de K Spec \otimes Qbar = Gal(K/Q) (que se extienden sobre los campos de Galois número K).

Answer 4

@Scott: por Desgracia, soy un poco nuevo aquí.. así que no soy capaz de insertar comentarios hasta que la ganancia de 50 puntos, así que por favor tenga esto por un tiempo, estoy a punto de conseguir esos puntos.

@Peter Clark: no creo que Hochster perdidas quasicompact abre constituye una base para la topología, y estoy seguro de que cualquier espectral espacio es el espectro de un anillo conmutativo. De hecho, la parte con quasicompact se abre formando una base en la definición de espectral de los espacios, de ver el segundo párrafo del papel de Hochster. Wikipedia es uno de los que perdió la parte de la definición de espacio espectral (sobrio espacios no son suficientes.. definición original por Hochster nunca siquiera se menciona sobrio espacios).

Así que me gustaría modificar un poco las cosas: Es un T0, sobrio espacio con quasicompact se abre una base de un subespacio abierto de un espacio espectral (la única cosa que me quita de aquí es la condición de ser compacto)? Me temo que si usted toma la alexandroff compactification de un tal espacio (tiene todas las propiedades de espectral, pero no es compacto), a continuación, intersección finita de abiertos pactos no necesariamente significa abrir compacto.. no he logrado dar este un pensamiento serio. Pero si esto puede funcionar con alexandroff compactification, entonces tengo una caracterización de los espacios que son un resultado de los esquemas.

Estoy haciendo una nueva edición.. creo que me he probado los siguientes:

Un espacio topológico el resultado de un sistema (por el olvidadizo functor) iff Es T0, compacto abre constituye una base (NOTA: compact me refiero a quasicompact y no quasicompact y hausdorff), finito interesections de compactas abierta es compacto abierta, y cada componente irreducible tiene un punto genérico.

=> Este lado es fácil.. ya que cualquier sistema tiene esta propiedad (última propuesta de hochster demuestra que este también.. ya que cualquier subespacio de un espacio espectral tiene esta propiedad)

<= si usted tiene un espacio topológico, a continuación, tomar el alexandroff compactification de ella. Este compactification resulta ser un espacio espectral (es decir, todas las propiedades del espacio topológico compacto Y la propiedad). El espacio abierto es el subespacio de su punto de compactification que es espectral, por lo tanto abrir un subespacio de un espacio espectral es el espacio topológico que es el resultado de un esquema (última propuesta de Hochster).

Answer 5

Sólo otro rapidito aquí.. Prop. 16 de Hochsters de papel (gracias a Manny para señalarla) de hecho nos da el tipo de caracterización que necesito. Así que por cero dimensión Hausdorff de los espacios, la respuesta es SÍ inmediatamente (acaba de tomar el Alexandroff compactification de ese espacio y se obtiene un espacio espectral, y la subyacente original de Hausdorff cero el espacio tridimensional es un subespacio abierto de...

Naturalmente, uno puede intentar compactify un T0, sobrio espacios y preguntar si es entonces un espacio espectral. Im todavía no estoy seguro de eso, puedo publicar algo después de mi visita al médico.. podría haber algún problema con respecto a la preservación de la compactación sobre la intersección finita de abiertos pactos (yo las llamo finito intersección de la propiedad para abrir compactos).