¿La longitud es una propiedad extensiva?

Question

Desde mi experiencia, el volumen, la superficie y la longitud son propiedades extensivas. De hecho :

• la reunión de dos cubos de 1 $m^3$ conduce a un cubo de 2 $m^3$
• la reunión de dos baldosas de 1 $m^2$ conduce a una baldosa de 2 $m^2$
• la reunión de dos espaguetis de 1 $m$ conduce a un espagueti de 2 $m$

Pero también he leído que la relación de dos propiedades extensivas debería conducir a una propiedad intensiva. Esto es cierto para el volumen molar (relación de un volumen sobre un número de moles) o la presión (relación de una fuerza sobre una superficie). Pero si hago la relación de un volumen sobre una superficie, obtengo una longitud que no es una propiedad intensiva.

Entonces, ¿debería considerar que la longitud es una cantidad intensiva o que la relación de dos propiedades extensivas no necesariamente conduce a una propiedad intensiva?

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Hice algunos bocetos y parece bastante cierto que solo el volumen es una propiedad extensiva y que no hay un resultado absoluto para la longitud y la superficie. Observé que un pavimento de volumen $V = S \times L$, con $S$ su superficie característica y $L$ su longitud característica, es posible crear dos subsistemas de muchas formas diferentes. Por ejemplo

• o dividiendo el pavimento en dos pavimentos de superficie característica $S/2$ y longitud característica $L$ ($S$ es extensiva mientras que $L$ es intensiva)
• o dividiendo el pavimento en dos pavimentos de superficie característica $S$ y longitud característica $L/2$ ($S$ es intensiva mientras que $L$ es extensiva)
• o dividiendo el pavimento en dos pavimentos de superficie característica $S$ y longitud característica $L$ ($S$ y $L$ son intensivas)

Así que supongo que es una cuestión de contexto si estas cantidades deben considerarse extensivas o intensivas. ¿Existen ejemplos clásicos donde la superficie o la longitud se consideran alternativamente como extensivas o intensivas?

Answer 1

La superficie y la longitud no son propiedades bien definidas para sistemas tridimensionales. La longitud de dos spaghetti solo se suma si los colocas uno al lado del otro, pero si los apilas uno encima del otro, entonces la "longitud" de la pila resultante no es de ninguna manera el doble de la longitud de los spaghetti individuales. Sin un procedimiento explícito de cómo combinar dos sistemas con formas arbitrarias, no está claro cómo uno podría calcular alguna vez la "longitud" o "superficie" de un sistema tridimensional que acaba de componerse a partir de dos subsistemas.

Answer 2

La longitud es una propiedad extensiva y la razón de dos propiedades extensivas siempre es una propiedad intensiva.

Una propiedad intensiva se puede utilizar (no siempre) como una unidad para una propiedad extensiva. En el caso mencionado en la pregunta, el resultado de la relación entre el volumen y el área de un sistema hecho de subsistemas similares y definidos, con cada subsistema teniendo un área unitaria, es el volumen del subsistema y siempre es constante. Ahora, si el sistema se divide a la mitad o se duplica (de una manera tal que no haya cambio en el subsistema, de lo contrario alteraría la definición misma del subsistema), el volumen de un subsistema o la relación entre el volumen y el área del sistema permanece constante. Esta relación proporciona una longitud (que, en algunos casos especiales de formas como un prisma rectangular o un cilindro, es la altura de las respectivas formas. Pero no en general, como en una esfera hueca, etc.) para algunas dimensiones arbitrarias de volumen y área. Es intensiva para el subsistema y se puede definir como una longitud unitaria. "una longitud unitaria" es una cantidad intensiva mientras que un múltiplo de esta unidad es extensivo. Por ejemplo, una cantidad extensiva llamada 'distancia' se puede definir, con valores que son múltiplos reales de una longitud unitaria, digamos 'metro'. Supongamos que una vara de 1 metro se divide a la mitad. La distancia también se divide a la mitad y equivale a 0.5 metros. Pero la unidad no cambia porque una unidad siempre es una propiedad intensiva definida en algún otro sistema.

Por lo tanto, cuando dividimos el volumen por el área, obtenemos una longitud que es intensiva para nuestro sistema original desde el cual medimos el volumen y el área, pero naturalmente nos resulta útil utilizar esta longitud para medir alguna otra cantidad de un nuevo sistema y luego, cuando duplicamos o dividimos a la mitad el nuevo sistema, vemos que la longitud cambia en consecuencia (y nos preguntamos por qué la relación o la longitud es extensiva, olvidando que nos hemos movido de nuestro sistema original). Pero si dividimos a la mitad o duplicamos nuestro sistema original, tanto el volumen como el área se dividen o duplican de manera que la relación o longitud sigue siendo la misma y es intensiva para el sistema.

Edit: Como alguien mencionó en el comentario un ejemplo de cubo, aquí hay un ejemplo sencillo.

Supongamos que un cubo hueco tiene un volumen de 1000 m³ y una altura de 10 m, entonces el volumen dividido por la altura es de 100 m³ por m. Ahora, esta relación es una propiedad del subcubo, es decir, volumen = 100 m³ y altura = 1 m. Ahora, si el cubo se divide a la mitad, volumen = 500 m³, altura = 5 m (nota que la relación sigue siendo la misma). ¿Qué pasa si el cubo se divide a la mitad de otra manera, de modo que su altura permanezca la misma? Entonces sería en contra de la definición del subcubo porque sus propiedades cambiarían, es decir, volumen = 50 m³, altura = 1 m. De hecho, este es un nuevo cubo completo (una rotación de 90° del cubo original dividido a la mitad), ¡acabo de moverme del sistema original!

Entonces surge la pregunta, ¿por qué uno tiene que adherirse siempre a la definición? Porque cuando se toma la relación de cualquier propiedad de tales formas, solo al observar la relación uno no puede determinar la orientación (en el espacio 3D) y las propiedades configuracionales (si es una esfera, cubo o cilindro) de la forma, es decir, se pierden algunos detalles y la relación se vuelve extensiva porque las propiedades no están bien definidas en el espacio 3D (como alguien mencionó en otra respuesta a esta pregunta). Pero una vez que los fundamentos están definidos, es intensiva. Eso es lo que se quiere decir con la afirmación "La relación siempre es intensiva para el sistema original desde el cual se mide".