Dado el número de dígitos de $n!$ donde$n \in \mathbb{Z}$$n \geq 7$, hallar el valor de $n$.

Question

He visto un montón de problemas acerca de cómo encontrar el número de dígitos de $n!$ así que me pregunto: ¿existe un enfoque para hacer lo contrario de este proceso?

Un ejemplo sería: dado el número de dígitos de $n!$$6$, entonces el valor de $n$ $9$ desde $n! = 362880$, y el número de dígitos de $n!$ es exactamente $6$.

Answer 1

Es posible estimar el $n$. Si usted toma un número $A$ base $10$, $\log_{10}{A}$ es aproximadamente el número de dígitos $A$, es decir, $$A=a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+...+a_1 10 + a_0, a_i\in \{0,1,...,9\}, a_k\ne0$$ entonces $$k\leq \log_{10}{A} < k+1 \tag{1}$$ Ahora, vamos a considerar $$n!=A \Rightarrow k\leq \sum\limits_{i=1}^{n}\log_{10}{i} < k+1 \tag{2}$$ y, desde $f(x)=\log_{10}{x}$ es ascendente: $$\sum\limits_{i=1}^{n}\log_{10}{i}= \sum\limits_{i=2}^{n}\left[i-(i-1)\right]\log_{10}{i}>\int\limits_{1}^{n}\log_{10}{x}dx =\frac{x(\ln{x}-1)}{\ln{10}}\bigg\rvert_{1}^{n}=\frac{n(\ln{n}-1)+1}{\ln{10}} \etiqueta{3}$$ La combinación de $(2)$ $(3)$ $$\frac{n(\ln{n}-1)+1}{\ln{10}} < k+1 \tag{4}$$ De hecho, lo suficientemente grande como para $k$ tenemos un asintótica $$\frac{n(\ln{n}-1)+1}{\ln{10}} \sim k$$ por ejemplo, (la aplicación de métodos numéricos como el de Newton , por ejemplo) $$\frac{n(\ln{n}-1)+1}{\ln{10}}=6 \Rightarrow n \approx 9$$ $$\frac{n(\ln{n}-1)+1}{\ln{10}}=3 \Rightarrow n \approx 6$$