Expositiva problemas

Question

En un artículo en su blog; T. Gowers habla de una "exposición de problemas".

Para los que son demasiado perezosos para hacer clic en ese enlace, una cita de una cita:

La solución de una exposición abierta problema significa explicar un matemático tema de una manera que hace que sea totalmente vâzıhı. Cada paso debe ser motivado y claro; idealmente, los estudiantes deben sentir que podían haber llegado a los propios resultados.

Estoy seguro de que todos nosotros podemos valorar los buenos soluciones a título enunciativo problemas, y que todos eran a veces muy frustrado por algunos expositiva problemas.

Así que, ¿qué expositiva problemas ¿sabes? Lo que una cosa en matemáticas nunca podría captar intuitivamente? Si usted es un miembro de la facultad, ¿alguna vez has notado algunos temas en su campo, que son particularmente difíciles de conseguir para sus estudiantes (y realmente no se por qué)?

P. S. lo siento si esta pregunta es demasiado "suave" para las matemáticas.stackexchange, pero creo que es realmente interesante.

Answer 1

Aquí hay dos declaraciones:

$\bullet$ El anillo de $\mathbb Z/4 \mathbb Z$ tiene 4 elementos, pero no es un campo.
$\bullet \bullet$ Existe un campo con 4 elementos.

He notado que año tras año que es muy difícil para los estudiantes a creer que ambas pueden ser verdaderas simultáneamente.

El remedio es describir el campo de manera muy explícita como $$\mathbb F_4=\frac {\mathbb F_2[X]}{\langle X^2+X+1\rangle}=\lbrace 0,1,x,1+x \rbrace $$

La exposición problema puede ser hacer cristalinas de lo que estos cabalistas igualdades significa y por qué esta $\mathbb F_4$ es de hecho un campo con cuatro elementos.
Y, a continuación, a explicar por qué el uso de $\mathbb F_2$ $X^2+X+1$ sobre la carretera que conduce a $\mathbb F_4$ es el núcleo de la "bootstrapping" método , que nos permite construir un gran campo finito $K$ a partir de un pequeño campo finito $k$, teniendo un polinomio irreducible $f(X)\in k[X]$ y la construcción el cociente $$K=k[X]/\langle f(X)\rangle$$.