La forma cerrada para $\sum_{0\le x\lt\infty}n^{2^{-x}}-1$

Question

Hay una forma cerrada para la siguiente expresión?

$$f(n)=\sum_{0\le x\lt\infty}n^{2^{-x}}-1=(n-1)+(\sqrt{n}-1)+(\sqrt{\sqrt{n}}-1)+\cdots$$

Aproximaciones son buenas. Esto me apareció mientras que el análisis de un algoritmo.

Answer 1

Deje $g(x) := f(e^{x/2})$, de modo que $g(x) = g(x/2) + e^{x/2}-1$. La expansión de $g(x)$ en el poder de la serie que hemos $$g(x) = \sum_{k>0} \frac{x^k}{k!(2^k-1)} = x + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{42} + \frac{x^4}{360} + \frac{x^5}{3720} +\cdots$$ que converge en todas partes, pero es poco probable que la forma cerrada.

Aproximaciones de $f(x)$ $x=1$ donde $f(1)=0$ $x-1+\log(x)$ $x-3+2\sqrt{x}$ y el promedio de los dos es mejor.

Answer 2

Después de algunos análisis, era incapaz de encontrar una forma cerrada, pero aquí hay algunas buenas aproximaciones:

En $n\in(0,7)$, $f(n)$ está cerca de la forma de $\alpha + \beta \sqrt n + \gamma n$, y para $n\in[7,\infty)$, es de la forma $\lambda + \rho n + \chi \log n$. Por lo que podemos aproximar con,

$$f(n) \aprox \begin{cases} \alpha + \beta \sqrt n + \gamma n, & n\in(0,7) \\ \lambda + \rho n + \chi \log n, & n\in[7,\infty) \\ \end{casos}$$

Usted puede utilizar cualquier accesorio algoritmo para aproximar estos valores. Se me ocurrió,

$$\begin{align*} \alpha &= -3.03894 &\lambda &= -3.23294 \\ \beta &= 2.17427 &\rho &= 1.04346 \\ \gamma &= 0.868928 &\chi &= 2.28405 \\ \end{align*}$$

Si calcular un logaritmo es demasiado caro o cálculo pesados, tenga en cuenta que $f$ es aproximadamente lineal como $n$ crece. Puede aproximar $f(n)\approx 1.09352 n + 2.82223$.