No se trata de una respuesta, sino de algunas pistas.
Consideremos la QFT libre más sencilla con un escalar bosónico sin masa, los términos del Lagrangiano son locales : $\phi(x) \square \phi(x)$ . Considerando una teoría interactiva ( $\phi^3, \phi^4$ ). Te interesa calcular las amplitudes de dispersión con partículas entrantes y partículas salientes. Utilizarás el propagador en $\frac{1}{k^2}$ cuya forma está directamente relacionada con el término lagrangiano anterior, y puedes notar que este propagador tiene un polo cuando $k$ está en la cáscara.
Si se considera sólo un diagrama de nivel de árbol, la amplitud de transición es simplemente el producto de propagadores, cada propagador podría escribirse $\frac{1}{l^2}$ , donde $l$ es la suma de algunos momentos externos (en cada vértice, se tiene la conservación del momento). Así que un polo de la amplitud de dispersión corresponde al polo de los propagadores, y esto corresponde poniendo en la cáscara alguna suma particular de los momentos externos.
Ahora, consideremos un diagrama de bucle, con regularización dimensional, como $I(q) \sim g^2 (\mu^2)^\epsilon\int d^{4-\epsilon}p \frac{1}{p^2}\frac{1}{(p-q)^2}$ donde $\epsilon$ es $>0$ , $q$ es un impulso externo. Utilizando la fórmula de Feynmann $\frac{1}{ab} = \int_0^1 \frac{dz}{[az+b(1-z)]^2}$ , usted obtendrá : $I(q) \sim g^2 (\mu^2)^\epsilon\int_0^1 dz \int (d^{4-\epsilon}p) \dfrac{1}{[p^2 - 2p.q(1-z)+q^2(1-z)]^2}$ , y finalmente :
$I(q) \sim g^2 (\mu^2)^\epsilon ~\Gamma(\frac{\epsilon}{2})\int_0^1 dz \dfrac{1}{[q^2 z(1-z) ]^{\large \frac{\epsilon}{2}}}$
Aquí, $\epsilon$ es $>0$ Así pues, vemos que si $q^2=0$ la integral no está definida, por lo que $q^2=0$ debe representar un polo para la amplitud de dispersión.
La relación con la localidad podría verse como si se mirara la transformada de Fourier (tomando $\epsilon=0$ ) de la amplitud de dispersión que podría escribirse $I(x) \sim [D(x)]^2$ , donde $D(x)$ es el propagador en coordenadas espacio-temporales.
Ahora, deberíamos esperar que cualquier amplitud de dispersión, con bucles, debería tener polos, lo que corresponde a alguna suma particular de los momentos externos que están en la cáscara.
