Localidad en la amplitud de dispersión

Question

A principios de esta charla de Nima Arkani-Hamed, describe lo que significa la localidad para las amplitudes de dispersión. "La localidad te dice que los únicos polos en la amplitud de dispersión ocurren cuando la suma de un subconjunto de los momentos de las partículas va en cáscara".

La charla pasa a describir su reciente investigación, pero ahora mismo no me preocupa entender eso. Sólo trato de entender la afirmación citada anteriormente. Sé qué aspecto tiene la localidad en la densidad lagrangiana (los términos de la densidad lagrangiana contienen operadores de campo que son todos funciones de la misma coordenada espaciotemporal), pero no me resulta en absoluto obvio cómo eso equivale a la afirmación anterior sobre las amplitudes de dispersión.

¿Puede explicarlo (preferiblemente al nivel de un curso de primer grado en QFT)?

Answer 1

No se trata de una respuesta, sino de algunas pistas.

Consideremos la QFT libre más sencilla con un escalar bosónico sin masa, los términos del Lagrangiano son locales : $\phi(x) \square \phi(x)$ . Considerando una teoría interactiva ( $\phi^3, \phi^4$ ). Te interesa calcular las amplitudes de dispersión con partículas entrantes y partículas salientes. Utilizarás el propagador en $\frac{1}{k^2}$ cuya forma está directamente relacionada con el término lagrangiano anterior, y puedes notar que este propagador tiene un polo cuando $k$ está en la cáscara.

Si se considera sólo un diagrama de nivel de árbol, la amplitud de transición es simplemente el producto de propagadores, cada propagador podría escribirse $\frac{1}{l^2}$ , donde $l$ es la suma de algunos momentos externos (en cada vértice, se tiene la conservación del momento). Así que un polo de la amplitud de dispersión corresponde al polo de los propagadores, y esto corresponde poniendo en la cáscara alguna suma particular de los momentos externos.

Ahora, consideremos un diagrama de bucle, con regularización dimensional, como $I(q) \sim g^2 (\mu^2)^\epsilon\int d^{4-\epsilon}p \frac{1}{p^2}\frac{1}{(p-q)^2}$ donde $\epsilon$ es $>0$ , $q$ es un impulso externo. Utilizando la fórmula de Feynmann $\frac{1}{ab} = \int_0^1 \frac{dz}{[az+b(1-z)]^2}$ , usted obtendrá : $I(q) \sim g^2 (\mu^2)^\epsilon\int_0^1 dz \int (d^{4-\epsilon}p) \dfrac{1}{[p^2 - 2p.q(1-z)+q^2(1-z)]^2}$ , y finalmente :

$I(q) \sim g^2 (\mu^2)^\epsilon ~\Gamma(\frac{\epsilon}{2})\int_0^1 dz \dfrac{1}{[q^2 z(1-z) ]^{\large \frac{\epsilon}{2}}}$

Aquí, $\epsilon$ es $>0$ Así pues, vemos que si $q^2=0$ la integral no está definida, por lo que $q^2=0$ debe representar un polo para la amplitud de dispersión.

La relación con la localidad podría verse como si se mirara la transformada de Fourier (tomando $\epsilon=0$ ) de la amplitud de dispersión que podría escribirse $I(x) \sim [D(x)]^2$ , donde $D(x)$ es el propagador en coordenadas espacio-temporales.

Ahora, deberíamos esperar que cualquier amplitud de dispersión, con bucles, debería tener polos, lo que corresponde a alguna suma particular de los momentos externos que están en la cáscara.

Answer 2

Este es el esbozo de un intento de explicación, y un trabajo en curso.

La unitaridad implica el teorema óptico (Ref: Peskin & Schroeder Sección 7.3), que dice

$$\Im[\mathcal{M}_{i \rightarrow f}] = \sum_{\textrm{m=middle}} \int d\Pi_{\textrm{m}} \mathcal{M}(i\rightarrow m) \mathcal{M}^* (m \rightarrow f)$$ Esencialmente, estás reexpresando la amplitud de dispersión $\mathcal{M}(i \rightarrow f)$ como una suma sobre los posibles canales, y sumando los residuos (de los polos) cada vez que esos estados intermedios pasan a ser on-shell. (Nota: Dado que el elemento de la matriz es una función analítica de las variables, se debería poder obtener la parte real dada la parte imaginaria)

A mi entender, en la sección 10.2 (Polología) de su libro de QFT1 Weinberg muestra que este tipo de interpretación (polos cuando hay algún estado intermedio en la cáscara alias "resonancia") se mantiene incluso cuando los estados intermedios $m$ son estados ligados (no perturbadores en general) y no necesariamente sólo grados de libertad en la teoría libre.

Es la misma idea que subyace en el representación espectral del propagador (a la Kallen-Lehmann. Referencias: Peskin & Schroeder Sección 7.1, Weinberg QFT1 Sección 10.7)

El paso exacto en el que entra la localidad no está claro para mí.

Ps: Agradecería que me ayudaran a ampliar los detalles de esta respuesta, tal vez convirtiéndola en una wiki comunitaria.